روش عناصر محدود (Finite Element Method - FEM)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش عناصر محدود (Finite Element Method - FEM) :
توضیح ساده: روش عناصر محدود (FEM) یک روش قدرتمند و انعطاف پذیر برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است، به ویژه برای مسائل با هندسه پیچیده. ایده اصلی این است که ناحیه حل را به عناصر کوچک (مثلثی، چهارضلعی، و غیره) تقسیم کرده و در هر عنصر، جواب را با توابع پایه ساده (معمولا چندجمله ای) تقریب بزنیم. سپس با استفاده از فرمول بندی ضعیف (Weak Formulation) و روش های وردشی (Variational)، یک دستگاه معادلات بدست می آوریم. FEM استاندارد صنعتی در مکانیک جامدات، سازه ها، و بسیاری از رشته های مهندسی است.
شرح گام به گام: مراحل اصلی FEM:
۱. فرمول بندی ضعیف معادله دیفرانسیل (با ضرب در توابع وزن و انتگرال گیری جزء به جزء).
۲. گسسته سازی ناحیه به عناصر محدود (Mesh Generation).
۳. انتخاب توابع پایه (Shape Functions) در هر عنصر (معمولا خطی، درجه ۲).
۴. تشکیل ماتریس سختی (Stiffness Matrix) و بردار نیرو با مونتاژ عناصر.
۵. اعمال شرایط مرزی.
۶. حل دستگاه خطی حاصل (معمولا با روش های مستقیم یا تکراری).
۷. محاسبه کمیت های مشتق شده (مثل تنش) در صورت نیاز.
مثال عددی: تحلیل تنش در یک تیر با هندسه پیچیده. با FEM، تیر به هزاران عنصر مثلثی تقسیم می شود. در هر عنصر، جابجایی با توابع خطی تقریب زده می شود. ماتریس سختی مونتاژ شده و با حل دستگاه، جابجایی در گره ها بدست می آید. سپس تنش ها محاسبه می شوند.
مزایا: انعطاف پذیری بالا در هندسه های پیچیده، پشتیبانی از انواع شرایط مرزی، دقت قابل کنترل با افزایش درجه توابع پایه.
معایب: پیاده سازی پیچیده، نیاز به تولید شبکه با کیفیت (Mesh Generation)، هزینه محاسباتی بالا برای مسائل بزرگ.
کاربردها: در مکانیک جامدات، در تحلیل سازه ها، در دینامیک سیالات (با روش های خاص)، در الکترومغناطیس، در انتقال حرارت.
نکته: نرم افزارهای تجاری مانند ANSYS، Abaqus، و COMSOL بر پایه FEM کار می کنند.
