روش تفاضلات محدود برای معادلات هذلولی (FDM for Hyperbolic PDEs)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تفاضلات محدود برای معادلات هذلولی (FDM for Hyperbolic PDEs) :
معادله موج:
\[ u_{tt} = c^2 u_{xx} \]یا معادله انتقال:
\[ u_t + a u_x = 0 \]توضیح ساده: معادلات هذلولی (مانند معادله موج و معادله انتقال) پدیده های انتشار موج و جابه جایی (Advection) را توصیف می کنند. این معادلات ویژگی های خاصی دارند، از جمله اینکه اطلاعات در طول خمینه های مشخصه (Characteristics) منتقل می شوند. روش های تفاضلات محدود برای این معادلات باید با دقت طراحی شوند تا ناپایداری های عددی (مثل نوسانات) ایجاد نکنند. طرح های مرتبه اول مانند طرح بالاباد (Upwind) و طرح های مرتبه بالاتر مانند لاکس-وندروف (Lax-Wendroff) استفاده می شوند.
شرح گام به گام: برای معادله انتقال u_t + a u_x = 0 با a>0:
۱. طرح بالاباد (Upwind):
\[ u_i^{n+1} = u_i^n - \frac{a\Delta t}{\Delta x} (u_i^n - u_{i-1}^n) \]شرط پایداری:
\[ |a|\Delta t / \Delta x \le 1 \](شرط CFL)
۲. طرح لاکس-فردریش (Lax-Friedrichs):
\[ u_i^{n+1} = \frac{1}{2}(u_{i-1}^n + u_{i+1}^n) - \frac{a\Delta t}{2\Delta x} (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n) \]۳. طرح لاکس-وندروف (Lax-Wendroff) مرتبه ۲:
\[ u_i^{n+1} = u_i^n - \frac{a\Delta t}{2\Delta x} (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n) + \frac{a^2\Delta t^2}{2\Delta x^2} (u_{i-1}^n - 2u_i^n + u_{i+1}^n) \]برای معادله موج، می توان آن را به یک دستگاه مرتبه اول تبدیل کرد یا از تفاضل مرکزی مرتبه دوم در مکان و زمان استفاده کرد.
مثال عددی: معادله انتقال u_t + u_x = 0 با شرایط اولیه یک پالس مربعی. با طرح بالاباد، پالس با پخش عددی (Numerical Diffusion) هموار می شود. با طرح لاکس-وندروف، پالس بهتر حفظ می شود اما ممکن است نوسانات ایجاد کند. طرح های پیشرفته تری مانند TVD (Total Variation Diminishing) برای جلوگیری از نوسانات استفاده می شوند.
مزایا: قابلیت شبیه سازی پدیده های موجی، طرح های مختلف برای تعادل بین دقت و پایداری.
معایب: حساس به نوسانات عددی، نیاز به انتخاب طرح مناسب بر اساس مسئله، شرط CFL محدودیت ایجاد می کند.
کاربردها: در آیرودینامیک، در آکوستیک، در لرزه شناسی، در شبیه سازی ترافیک، در دینامیک سیالات.
نکته: روش های پیشرفته تری مانند روش های مشخصه ها (Method of Characteristics) و روش های حجم محدود برای معادلات هذلولی استفاده می شوند.
