روش تفاضلات محدود برای معادلات سهموی (FDM for Parabolic PDEs)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تفاضلات محدود برای معادلات سهموی (FDM for Parabolic PDEs) :
معادله حرارت:
\[ u_t = \alpha \nabla^2 u \]توضیح ساده: معادلات سهموی (مانند معادله حرارت) مسائل وابسته به زمان هستند که رفتار انتشار (Diffusion) را توصیف می کنند. این معادلات یک شرط اولیه و شرایط مرزی دارند. در روش تفاضلات محدود، مشتقات زمانی و مکانی گسسته می شوند. طرح های مختلفی وجود دارد: صریح (Explicit)، ضمنی (Implicit)، و کریک-نیکلسون (Crank-Nicolson). هر کدام ویژگی های پایداری و دقت متفاوتی دارند.
شرح گام به گام: برای معادله حرارت یک بعدی u_t = α u_xx:
۱. طرح صریح (FTCS - Forward Time Central Space):
\[ u_i^{n+1} = u_i^n + \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} (u_{i-1}^n - 2u_i^n + u_{i+1}^n) \]شرط پایداری:
\[ \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} \le \frac{1}{2} \]۲. طرح ضمنی (BTCS - Backward Time Central Space):
\[ u_i^{n+1} - \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} (u_{i-1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} + u_{i+1}^{n+1}) = u_i^n \]این طرح پایدار غیرشرطی است (برای هر Δt پایدار است).
۳. طرح کریک-نیکلسون (میانگین دو طرح):
\[ u_i^{n+1} - \frac{\alpha \Delta t}{2\Delta x^2} (u_{i-1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} + u_{i+1}^{n+1}) = u_i^n + \frac{\alpha \Delta t}{2\Delta x^2} (u_{i-1}^n - 2u_i^n + u_{i+1}^n) \]این طرح نیز پایدار غیرشرطی و با دقت مرتبه دوم در زمان است.
مثال عددی: معادله حرارت با α=1، L=1، شرایط اولیه u(x,0)=sin(πx)، مرزی u(0,t)=u(1,t)=0. با Δx=0.1، Δt=0.005 (برای طرح صریح پایدار). طرح صریح ساده ترین است، اما طرح کریک-نیکلسون با Δt=0.01 نیز پایدار است و دقت بهتری دارد.
مزایا: طرح صریح ساده و سریع، طرح های ضمنی پایدار غیرشرطی، کریک-نیکلسون دقت بالا.
معایب: طرح صریح محدودیت پایداری شدید دارد، طرح های ضمنی نیاز به حل دستگاه سه قطری در هر گام زمانی دارند.
کاربردها: در انتقال حرارت، در نفوذ (Diffusion)، در تصفیه آب، در زیست شناسی (معادلات انتشار).
نکته: روش کریک-نیکلسون به دلیل تعادل بین دقت و پایداری، بسیار محبوب است.
