روش تفاضلات محدود برای معادلات بیضوی (FDM for Elliptic PDEs)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تفاضلات محدود برای معادلات بیضوی (FDM for Elliptic PDEs) :
معادله لاپلاس:
\[ \nabla^2 u = 0 \]یا پواسون:
\[ \nabla^2 u = f \]توضیح ساده: معادلات بیضوی (مانند معادله لاپلاس و پواسون) مسائل مقدار مرزی هستند که وابسته به زمان نیستند. این معادلات حالت پایدار (Steady-state) پدیده های فیزیکی مانند توزیع دما در حالت پایدار، پتانسیل الکتریکی، و جریان سیال غیرقابل تراکم را توصیف می کنند. در روش تفاضلات محدود برای این معادلات، با گسسته سازی مشتقات مکانی، به یک دستگاه خطی بزرگ از معادلات جبری می رسیم که باید حل شود.
شرح گام به گام: برای معادله پواسون دو بعدی: u_xx + u_yy = f(x,y) در ناحیه مستطیلی با شبکه منظم:
۱. با تفاضل مرکزی در هر دو جهت:
\[ \frac{u_{i-1,j} - 2u_{i,j} + u_{i+1,j}}{\Delta x^2} + \frac{u_{i,j-1} - 2u_{i,j} + u_{i,j+1}}{\Delta y^2} = f_{i,j} \]۲. این معادله برای هر نقطه داخلی (i,j) یک معادله خطی ایجاد می کند.
۳. با اعمال شرایط مرزی (مثلا دیریشله، نویمان)، یک دستگاه خطی به فرم AU = b بدست می آید.
۴. این دستگاه را می توان با روش های مستقیم (مثل حذف گاوس) یا تکراری (مثل گاوس-سایدل، SOR) حل کرد.
۵. ماتریس A معمولا بزرگ و تنک (Sparse) است و روش های تکراری برای آن مناسب ترند.
مثال عددی: معادله لاپلاس u_xx+u_yy=0 در مربع [0,1]×[0,1] با شرایط مرزی u=0 در مرزها بجز ضلع بالا که u=1. با Δx=Δy=0.1، یک دستگاه با حدود ۱۰۰ مجهول بدست می آید. با روش SOR با ω بهینه، دستگاه به سرعت همگرا می شود.
مزایا: دستگاه خطی با ساختار منظم، قابل حل با روش های سریع (مانند توماس برای مسائل یک بعدی).
معایب: برای هندسه های پیچیده، تطبیق شبکه دشوار است. ممکن است برای مسائل بزرگ، حل دستگاه پرهزینه باشد.
کاربردها: در تحلیل میدان الکتریکی، در مکانیک جامدات (پیچش)، در جریان پتانسیل، در انتقال حرارت پایدار.
نکته: روش های چندشبکه ای (Multigrid) برای حل سریع این دستگاه ها بسیار کارآمد هستند.
