روش تفاضلات محدود (Finite Difference Method - FDM)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تفاضلات محدود (Finite Difference Method - FDM) :
\[ \frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1}}{\Delta x^2} \]توضیح ساده: روش تفاضلات محدود (FDM) یکی از قدیمی ترین و پرکاربردترین روش ها برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) است. ایده اصلی این است که مشتقات را با تفاضلات متناهی (بر اساس بسط تیلور) روی یک شبکه (Grid) از نقاط گسسته تقریب بزنیم. این روش ساده، قابل فهم، و برای مسائل با هندسه ساده (مستطیلی) بسیار کارآمد است. FDM پایه ای برای بسیاری از روش های پیشرفته تر است.
شرح گام به گام: مراحل اصلی FDM:
۱. ناحیه حل را با یک شبکه (مثلا با گام های Δx و Δt) گسسته کنید.
۲. مشتقات را با فرمول های تفاضلات محدود (پیشرو، پسرو، مرکزی) تقریب بزنید.
۳. معادله دیفرانسیل را به یک معادله جبری (یا دستگاه معادلات) در هر نقطه از شبکه تبدیل کنید.
۴. با اعمال شرایط اولیه و مرزی، دستگاه حاصل را حل کنید.
۵. برای مسائل وابسته به زمان، از یک روش گام زمانی (صریح یا ضمنی) استفاده کنید.
معادله حرارت یک بعدی: u_t = α u_xx را با تفاضل مرکزی در مکان و پیشرو در زمان:
\[ \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i-1}^n - 2u_i^n + u_{i+1}^n}{\Delta x^2} \]که یک طرح صریح (Explicit) است.
مثال عددی: معادله حرارت با α=1، L=1، T=0.1، با Δx=0.1، Δt=0.001. با شرایط اولیه u(x,0)=sin(πx) و مرزی u(0,t)=u(1,t)=0. با طرح صریح، مقادیر در هر گام زمانی محاسبه می شوند. پایداری نیاز به Δt ≤ (Δx)²/(2α) دارد.
مزایا: ساده، قابل فهم، پیاده سازی آسان، کارآمد برای هندسه های ساده.
معایب: محدودیت در هندسه های پیچیده، نیاز به شبکه بندی منظم، ممکن است برای مسائل با مرزهای منحنی دقت پایینی داشته باشد.
کاربردها: در انتقال حرارت، در دینامیک سیالات، در الکترومغناطیس، در آکوستیک.
نکته: FDM پایه ای برای بسیاری از روش های عددی است و در نرم افزارهای متنوعی پیاده سازی شده است.
