روش بیمن (Beeman's Algorithm)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش بیمن (Beeman's Algorithm) :
روشی برای دینامیک مولکولی با دقت بیشتر در محاسبه سرعت
توضیح ساده: روش بیمن (Beeman) یک روش عددی برای حل معادلات حرکت در دینامیک مولکولی است که بهبودی بر روش ورفل محسوب می شود. این روش با استفاده از اطلاعات بیشتری از شتاب های قبلی، دقت بالاتری در محاسبه سرعت (و در نتیجه انرژی جنبشی) ارائه می دهد، در حالی که خواص پایستگی انرژی مشابه ورفل را حفظ می کند. این روش در شبیه سازی هایی که محاسبه دقیق انرژی اهمیت دارد (مثل ترمودینامیک آماری) ترجیح داده می شود.
شرح گام به گام: الگوریتم بیمن (نسخه مرتبه ۳) به صورت زیر است:
\[ x_{n+1} = x_n + v_n \Delta t + \frac{1}{6}(4a_n - a_{n-1})(\Delta t)^2 \] \[ v_{n+1} = v_n + \frac{1}{6}(2a_{n+1} + 5a_n - a_{n-1})\Delta t \]که در آن a_n = F(x_n)/m شتاب در گام n است. برای شروع، به a_{-1} نیاز داریم که معمولا با یک گام ورفل یا اویلر محاسبه می شود. خطای موضعی این روش O(Δt⁴) برای موقعیت و O(Δt³) برای سرعت است که نسبت به ورفل (که هر دو O(Δt²) هستند) بهبود دارد.
مثال عددی: نوسانگر هماهنگ a = -x، با Δt=0.1، x₀=1، v₀=0. با روش بیمن، ابتدا a₀=-1. برای محاسبه a_{-1} از یک گام ورفل به عقب یا تقریب استفاده می کنیم. فرض کنیم با روش ورفل x_{-1}=1.005, a_{-1}=-1.005. سپس: x₁ = 1 + 0*0.1 + (1/6)(4*(-1) - (-1.005))*0.01 = 1 + (1/6)(-4 + 1.005)*0.01 = 1 + (1/6)*(-2.995)*0.01 = 1 - 0.0049917 = 0.9950083 a₁ = -0.9950083 v₁ = 0 + (1/6)(2*(-0.9950083) + 5*(-1) - (-1.005))*0.1 = (1/6)(-1.9900166 -5 + 1.005)*0.1 = (1/6)(-5.9850166)*0.1 = -0.09975028 جواب دقیق: cos(0.1)=0.9950042, sin(0.1)=0.0998334-، خطا بسیار کم است.
مزایا: دقت بالاتر در سرعت نسبت به ورفل، پایستگی انرژی خوب، مناسب برای دینامیک مولکولی.
معایب: نیاز به ذخیره سازی شتاب قبلی (a_{n-1})، شروع نیاز به یک گام اضافی، پیچیده تر از ورفل.
کاربردها: در دینامیک مولکولی، در شبیه سازی مواد، در بیوفیزیک محاسباتی.
نکته: این روش به افتخار داگلاس بیمن، فیزیکدان، نامگذاری شده است.
