روش وِرفل سرعت (Velocity Verlet Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش وِرفل سرعت (Velocity Verlet Method) :
\[ x_{n+1} = x_n + v_n \Delta t + \frac{1}{2} a_n (\Delta t)^2 \] \[ v_{n+1} = v_n + \frac{1}{2} (a_n + a_{n+1}) \Delta t \]توضیح ساده: روش ورفل سرعت (Velocity Verlet) یک نسخه بهبود یافته از روش ورفل است که هم موقعیت و هم سرعت را با دقت مرتبه دوم و با خواص سیمپلکتیک محاسبه می کند. این روش در دینامیک مولکولی بسیار محبوب است زیرا به طور مستقیم سرعت را ارائه می دهد (برای محاسبه انرژی جنبشی لازم است) و از نظر عددی پایدار است. همچنین با روش ورفل موقعیت معادل است و خطای یکسانی دارد.
شرح گام به گام: الگوریتم Velocity Verlet:
۱. موقعیت را با استفاده از سرعت و شتاب فعلی به روز کن:
\[ x_{n+1} = x_n + v_n \Delta t + \frac{1}{2} a_n (\Delta t)^2 \]۲. شتاب جدید a_{n+1} را بر اساس x_{n+1} محاسبه کن (از نیروها).
۳. سرعت را با میانگین شتاب های قدیم و جدید به روز کن:
\[ v_{n+1} = v_n + \frac{1}{2} (a_n + a_{n+1}) \Delta t \]این روش دقیقا معادل روش ورفل موقعیت است (از نظر مسیر طی شده)، اما سرعت را با دقت بیشتری می دهد. همچنین از نظر عددی پایدارتر از روش ورفل موقعیت در محاسبه سرعت است.
مثال عددی: نوسانگر هماهنگ a = -x، با Δt=0.1، x₀=1، v₀=0. گام اول: x₁ = 1 + 0*0.1 + 0.5*(-1)*0.01 = 1 - 0.005 = 0.995 a₁ = -0.995 v₁ = 0 + 0.5*(-1 + (-0.995))*0.1 = 0.5*(-1.995)*0.1 = -0.09975 گام دوم: x₂ = 0.995 + (-0.09975)*0.1 + 0.5*(-0.995)*0.01 = 0.995 - 0.009975 - 0.004975 = 0.98005 a₂ = -0.98005 v₂ = -0.09975 + 0.5*(-0.995 + (-0.98005))*0.1 = -0.09975 + 0.5*(-1.97505)*0.1 = -0.09975 - 0.09875 = -0.1985 جواب دقیق: cos(0.2)=0.98007, v = -sin(0.2)=-0.19867، خطا بسیار کم است.
مزایا: سیمپلکتیک، پایدار، دقت مرتبه ۲ برای موقعیت و سرعت، محاسبه مستقیم سرعت، پرکاربردترین روش در دینامیک مولکولی.
معایب: دو بار محاسبه نیرو در هر گام (اگر شتاب وابسته به سرعت باشد، باید اصلاح شود).
کاربردها: استاندارد اصلی در دینامیک مولکولی، در شبیه سازی مواد، در بیوفیزیک، در شیمی محاسباتی.
نکته: روش Velocity Verlet در اکثر نرم افزارهای دینامیک مولکولی مانند GROMACS، NAMD، و LAMMPS استفاده می شود.
