روش وِرفل (Verlet Integration)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش وِرفل (Verlet Integration) :
\[ x_{n+1} = 2x_n - x_{n-1} + a_n (\Delta t)^2 \]توضیح ساده: روش ورفل (Verlet) یک روش سیمپلکتیک مرتبه دوم برای حل معادلات حرکت نیوتن است. این روش بسیار محبوب در دینامیک مولکولی است زیرا پایدار، ساده، و پایسته ساز انرژی است. برخلاف روش های رونگ-کوتا که به سرعت و موقعیت نیاز دارند، روش ورفل فقط از موقعیت ها استفاده می کند و سرعت را به طور ضمنی محاسبه می کند. نسخه اصلی آن موقعیت را بر اساس موقعیت های دو گام قبلی و شتاب فعلی به روز می کند.
شرح گام به گام: برای معادله حرکت a = F(x)/m، روش ورفل (موقعیت) به صورت زیر است:
\[ x_{n+1} = 2x_n - x_{n-1} + a_n (\Delta t)^2 \]که a_n شتاب در موقعیت x_n است. برای شروع، به x₀ و x₁ نیاز داریم که x₁ معمولا با یک روش دیگر (مثل اویلر یا سری تیلور) محاسبه می شود. سرعت را می توان به صورت ضمنی محاسبه کرد:
\[ v_n = \frac{x_{n+1} - x_{n-1}}{2\Delta t} \]این روش از مرتبه ۲ دقیق است و انرژی را در طولانی مدت پایسته نگه می دارد.
مثال عددی: نوسانگر هماهنگ a = -x، با Δt=0.1، x₀=1. محاسبه x₁ با سری تیلور: x₁ ≈ 1 + 0*v₀ + (0.1²/2)(-1) = 1 - 0.005 = 0.995. گام دوم: x₂ = 2*0.995 - 1 + (-0.995)*0.01 = 1.99 - 1 - 0.00995 = 0.98005 گام سوم: x₃ = 2*0.98005 - 0.995 + (-0.98005)*0.01 = 1.9601 - 0.995 - 0.0098005 = 0.9553 جواب دقیق: cos(0.3)=0.955336، خطا بسیار کم است.
مزایا: پایدار، سیمپلکتیک، پایستگی انرژی، ساده، کم حافظه.
معایب: نیاز به دو مقدار قبلی، محاسبه سرعت با دقت کمتر، برای سیستم های با میرایی مناسب نیست.
کاربردها: در دینامیک مولکولی، در شبیه سازی حرکت ذرات، در گرافیک کامپیوتری (شبیه سازی پارچه و مایعات).
نکته: این روش توسط لوپ ورفل در فیزیک آماری رایج شد.
