روش سیمپلکتیک (Symplectic Integrators)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش سیمپلکتیک (Symplectic Integrators) :
روش های پایسته ساز ساختار هم تافته (Hamiltonian)
توضیح ساده: روش های سیمپلکتیک دسته ای از روش های عددی برای حل معادلات دینامیک همیلتونی (مانند معادلات حرکت در مکانیک کلاسیک) هستند که خاصیت سیمپلکتیک (پایستگی ساختار هم تافته) را حفظ می کنند. روش های معمولی مانند RK4 ممکن است انرژی را در طولانی مدت پایسته نگه ندارند، اما روش های سیمپلکتیک این کار را می کنند. این روش ها برای شبیه سازی های طولانی مدت در دینامیک مولکولی، نجوم، و مکانیک سماوی ضروری هستند.
شرح گام به گام: یک روش سیمپلکتیک معمولا به صورت جداپذیر (Separable) برای دستگاه های همیلتونی با فرم H(p,q) = T(p) + V(q) طراحی می شود. معروف ترین روش های سیمپلکتیک:
- روش اویلر سیمپلکتیک (مرتبه ۱):
\[ p_{n+1} = p_n - h \nabla V(q_n) \] \[ q_{n+1} = q_n + h \nabla T(p_{n+1}) \]- روش ورفل (مرتبه ۲): که در روش بعدی توضیح داده می شود.
- روش های مرتبه بالاتر مانند روش های رونگ-کوتا سیمپلکتیک و روش های ترکیبی (Composition Methods).
خاصیت اصلی این روش ها این است که تبدیل (p_n,q_n) به (p_{n+1},q_{n+1}) یک تبدیل سیمپلکتیک است، یعنی ساختار هندسی فاز را حفظ می کند.
مثال: نوسانگر هماهنگ H = p²/2 + q²/2. با روش اویلر سیمپلکتیک: p₁ = p₀ - h q₀ q₁ = q₀ + h p₁ = q₀ + h(p₀ - h q₀) = q₀ + h p₀ - h² q₀ این روش انرژی را دقیقا پایسته نگه نمی دارد، اما خطای انرژی در طولانی مدت رشد نمی کند (برخلاف روش اویلر معمولی که انرژی رشد می کند).
مزایا: پایستگی انرژی در طولانی مدت، حفظ ساختار هندسی، مناسب برای شبیه سازی های طولانی.
معایب: معمولا مرتبه پایین (۲ یا ۴)، برای سیستم های غیرهمیلتونی مناسب نیستند.
کاربردها: در دینامیک مولکولی، در مکانیک سماوی، در شبیه سازی شتاب دهنده های ذرات، در فیزیک پلاسما.
نکته: روش های سیمپلکتیک پایه ای برای شبیه سازی های طولانی مدت در فیزیک هستند.
