روش خط کشی (Method of Lines)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش خط کشی (Method of Lines) :
تبدیل PDE به دستگاه ODE با گسسته سازی مکانی
توضیح ساده: روش خط کشی (MOL) یک روش قدرتمند برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) است. در این روش، مشتقات مکانی (مثلا ∂²u/∂x²) با تفاضلات محدود (یا روش طیفی) گسسته سازی می شوند، در حالی که متغیر زمان پیوسته باقی می ماند. نتیجه یک دستگاه بزرگ از معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) در زمان است که می توان آن را با روش های استاندارد ODE حل کرد. این روش بسیار انعطاف پذیر است و از حل کننده های پیشرفته ODE (با کنترل گام) بهره می برد.
شرح گام به گام: مراحل روش خط کشی برای معادله حرارت یک بعدی u_t = α u_xx:
۱. بازه مکانی [0,L] را به N نقطه با فاصله Δx گسسته کنید: x_i = i Δx
۲. مشتق دوم مکانی را با تفاضلات مرکزی تقریب بزنید:
\[ u_{xx}(x_i,t) ≈ \frac{u_{i-1}(t) - 2u_i(t) + u_{i+1}(t)}{(\Delta x)^2} \]۳. دستگاه ODE حاصل:
\[ \frac{du_i}{dt} = \frac{\alpha}{(\Delta x)^2} (u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1}) \]۴. این دستگاه را با یک حل کننده ODE مناسب (مثل RK4 یا ode15s برای معادلات سفت) حل کنید.
۵. شرایط مرزی در نقاط انتهایی اعمال می شوند.
مثال: معادله حرارت با α=1، L=1، N=10، شرایط اولیه u(x,0)=sin(πx). با روش خط کشی و حل کننده ode45 در MATLAB، می توان جواب را در زمان محاسبه کرد. این روش بسیار ساده و کارآمد است.
مزایا: انعطاف پذیر، استفاده از حل کننده های پیشرفته ODE، کنترل خودکار خطای زمانی، مناسب برای مسائل وابسته به زمان.
معایب: برای برخی PDEها (مانند هذلولی) ممکن است نیاز به احتیاط در انتخاب گسسته سازی مکانی داشته باشد، دستگاه حاصل ممکن است سفت باشد.
کاربردها: در شبیه سازی انتقال حرارت، در دینامیک سیالات، در واکنش-انتشار، در بیولوژی محاسباتی.
نکته: روش خط کشی در نرم افزارهایی مانند MATLAB با جعبه ابزار pdepe پیاده سازی شده است.
