روش تطبیقی (Adaptive Techniques for ODEs)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تطبیقی (Adaptive Techniques for ODEs) :
توضیح ساده: روش های تطبیقی در حل معادلات دیفرانسیل، اندازه گام (و گاهی مرتبه روش) را به طور خودکار در طول شبیه سازی تنظیم می کنند تا به دقت مورد نظر با حداقل هزینه محاسباتی برسند. این روش ها با تخمین خطای موضعی و مقایسه آن با آستانه تعیین شده، تصمیم می گیرند که گام را افزایش، کاهش، یا تکرار دهند. این تکنیک ها برای مسائلی که رفتار جواب در طول زمان تغییر می کند (مثلا نوسانات سریع در برخی بازه ها و رفتار هموار در بقیه) ضروری هستند.
شرح گام به گام: اجزای اصلی یک روش تطبیقی:
۱. یک روش پایه (مثلا RK4) و یک روش جفت برای تخمین خطا (مثلا RK5) یا استفاده از روش های جفت شده (مانند RKF45).
۲. تخمین خطای موضعی:
\[ E = |y_{n+1}^{(high)} - y_{n+1}^{(low)}| \]۳. مقایسه با آستانه های tol_min و tol_max.
۴. اگر E < tol_min، گام قبول و گام بعدی افزایش می یابد:
\[ h_{new} = h \times \min(2, (tol_min/E)^{1/p}) \]۵. اگر E > tol_max، گام رد شده و با گام کوچکتر تکرار می شود:
\[ h_{new} = h \times \max(0.5, (tol_max/E)^{1/p}) \]۶. اگر tol_min ≤ E ≤ tol_max، گام قبول و گام ثابت می ماند.
مثال: در شبیه سازی حرکت یک ماهواره، در نزدیکی زمین نیروی گرانش قوی و تغییرات سریع است (نیاز به گام ریز)، اما در فضای بین سیاره ای نیرو تقریبا ثابت است (گام درشت). روش تطبیقی به طور خودکار گام را تنظیم می کند و در کل مسیر کارایی بالایی دارد.
مزایا: کارایی بالا، کنترل خودکار خطا، مناسب برای مسائل با تغییرات موضعی.
معایب: پیاده سازی پیچیده تر، هزینه اضافی برای تخمین خطا، ممکن است برای برخی مسائل نوسانات گام ایجاد کند.
کاربردها: در تمام حل کننده های حرفه ای ODE (مانند ode45، ode15s، ode113 در MATLAB)، در شبیه سازی های علمی و مهندسی.
نکته: انتخاب آستانه خطا (tol) تأثیر زیادی بر کارایی و دقت دارد.
