روش گیر (Gear's Method for Stiff Equations)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش گیر (Gear's Method for Stiff Equations) :
پیاده سازی عددی روش های BDF با کنترل گام و مرتبه
توضیح ساده: روش گیر (یا روش گیر) به پیاده سازی عملی روش های BDF با قابلیت کنترل خودکار گام و مرتبه گفته می شود. سی دابلیو گیر در دهه ۱۹۶۰ این روش را برای حل کارآمد معادلات سفت توسعه داد. روش گیر در نرم افزارهای عددی مانند LSODE و ode15s پیاده سازی شده و استانداردی برای حل معادلات سفت است. این روش ترکیبی از روش های BDF با مرتبه های مختلف (معمولا ۱ تا ۵) است که به طور خودکار انتخاب می شوند.
شرح گام به گام: روش گیر شامل موارد زیر است:
۱. خانواده ای از روش های BDF با مرتبه های ۱ تا ۵ (و گاهی ۶).
۲. یک استراتژی برای تخمین خطای موضعی و تنظیم گام (h) و مرتبه (k).
۳. یک روش پیشگو (معمولا از نوع آدامز) برای حدس اولیه در حل معادله غیرخطی.
۴. یک روش تکراری (معمولا نیوتن اصلاح شده) برای حل معادله ضمنی BDF.
۵. مکانیزم هایی برای تشخیص سفت بودن مسئله و تغییر استراتژی.
این روش می تواند با گام های بسیار بزرگ تر از روش های صریح برای معادلات سفت کار کند.
کاربرد در MATLAB: دستور ode15s در MATLAB یک پیاده سازی از روش گیر (و روش های BDF مرتبه بالاتر) است. برای یک معادله سفت مانند واکنش های شیمیایی، ode15s می تواند با گام های بزرگ و دقت خوب جواب را بیابد، در حالی که ode45 (بر اساس RK45) بسیار کند است یا واگرا می شود.
مزایا: بسیار کارآمد برای معادلات سفت، کنترل خودکار خطا، انتخاب هوشمندانه گام و مرتبه.
معایب: پیاده سازی بسیار پیچیده، نیاز به محاسبه ماتریس ژاکوبی (برای روش نیوتن).
کاربردها: در شبیه سازی فرآیندهای شیمیایی، در دینامیک سیالات، در مدارهای الکتریکی، در هر جایی که معادلات سفت وجود دارند.
نکته: روش گیر انقلابی در حل عددی معادلات سفت ایجاد کرد و جایزه Turing را برای گیر به همراه داشت.
