روش پس رو تفاضلی (Backward Differentiation Formulas - BDF)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش پس رو تفاضلی (Backward Differentiation Formulas - BDF) :
\[ \sum_{j=1}^k \frac{1}{j} \nabla^j y_{n+1} = h f(t_{n+1}, y_{n+1}) \]توضیح ساده: روش های پس رو تفاضلی (BDF) خانواده ای از روش های چندگامی ضمنی هستند که به طور خاص برای حل معادلات دیفرانسیل سفت (Stiff) طراحی شده اند. در این روش ها، مشتق y' در نقطه t_{n+1} با استفاده از تفاضلات پسروی y در نقاط قبلی تقریب زده می شود. این روش ها پایداری عالی دارند و برای مسائل سفت در مهندسی شیمی، دینامیک سیالات، و مدارهای الکتریکی بسیار محبوب هستند.
شرح گام به گام: فرمول عمومی BDF با k گام (مرتبه k) به صورت زیر است:
\[ \sum_{j=0}^k \alpha_j y_{n+1-j} = h \beta f(t_{n+1}, y_{n+1}) \]که α_0 = 1 و β یک ثابت است. برای k=1: y_{n+1} - y_n = h f_{n+1} (اویلر پسرو) برای k=2: y_{n+1} - (4/3)y_n + (1/3)y_{n-1} = (2/3)h f_{n+1} برای k=3: y_{n+1} - (18/11)y_n + (9/11)y_{n-1} - (2/11)y_{n-2} = (6/11)h f_{n+1} روش های BDF تا مرتبه ۶ پایدار هستند (مرتبه های بالاتر ناپایدار می شوند). این روش ها در حل کننده های معادلات سفت مانند Gear's method استفاده می شوند.
مثال عددی: معادله سفت y' = -1000y با y(0)=1، h=0.1. با BDF2: y₁ - (4/3)y₀ = (2/3)h f₁ ⇒ y₁ - (4/3)*1 = (2/3)*0.1*(-1000 y₁) = - (200/3) y₁ ⇒ y₁ + (200/3) y₁ = 4/3 ⇒ y₁(1 + 66.67) = 1.3333 ⇒ y₁ = 1.3333/67.67 = 0.0197 جواب دقیق e^{-100} ≈ 0، اما روش پایدار است و واگرا نمی شود.
مزایا: پایداری عالی (A-stable تا مرتبه ۲، و پایدار برای معادلات سفت تا مرتبه ۶)، مناسب برای مسائل سفت.
معایب: ضمنی (نیاز به حل معادله غیرخطی)، شروع نیاز به مقادیر اولیه از روش دیگر.
کاربردها: در شبیه سازی فرآیندهای شیمیایی، در تحلیل مدارهای الکتریکی، در دینامیک سیالات، در حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی پس از گسسته سازی.
نکته: روش های BDF پایه ای برای حل کننده های معادلات سفت در نرم افزارهایی مانند MATLAB (ode15s) هستند.
