روش خطی چندگامی (Linear Multistep Methods - LMM)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش خطی چندگامی (Linear Multistep Methods - LMM) :
\[ \sum_{j=0}^k \alpha_j y_{n+j} = h \sum_{j=0}^k \beta_j f(t_{n+j}, y_{n+j}) \]توضیح ساده: روش های خطی چندگامی (LMM) یک چارچوب کلی برای تمام روش های چندگامی هستند که در آنها رابطه بین مقادیر y و مشتقات آن به صورت خطی ظاهر می شود. این خانواده شامل روش های آدامز (بشفورث و مولتون)، روش های پس رو تفاضلی (BDF)، و روش های نیستروم می شود. درک این چارچوب به تحلیل پایداری، همگرایی و دقت روش های مختلف کمک می کند.
شرح گام به گام: فرمول عمومی LMM با k گام به صورت زیر است:
\[ \sum_{j=0}^k \alpha_j y_{n+j} = h \sum_{j=0}^k \beta_j f(t_{n+j}, y_{n+j}) \]که در آن α_k معمولا ۱ (یا نرمالایز) می شود. ضرایب α_j و β_j مشخص کننده روش هستند. شرایط لازم برای همگرایی (Consistency + Zero-stability) با قضیه دالکوئیست (Dahlquist) داده می شود. روش های LMM بر اساس ویژگی های زیر دسته بندی می شوند:
- اگر β_k = 0، روش صریح است، در غیر این صورت ضمنی.
- مرتبه دقت روش با استفاده از بسط تیلور تعیین می شود.
- پایداری روش با تحلیل ریشه های چندجمله ای مشخصه ارزیابی می شود.
مثال: روش آدامز-بشفورث مرتبه ۲ (صریح): α₂=1, α₁=-1, α₀=0 و β₂=0, β₁=3/2, β₀=-1/2 روش آدامز-مولتون مرتبه ۲ (ضمنی): α₂=1, α₁=-1, α₀=0 و β₂=1/2, β₁=1/2, β₀=0 روش BDF مرتبه ۲: α₂=1, α₁=-4/3, α₀=1/3 و β₂=2/3, β₁=0, β₀=0
مزایا: چارچوب یکپارچه برای تحلیل، امکان طراحی روش های جدید، پوشش طیف وسیعی از روش ها.
معایب: تحلیل پایداری پیچیده، محدودیت های دالکوئیست (مرتبه روش های پایدار صریح ≤۲ برای k≥۲).
کاربردها: در تحلیل عددی، در طراحی روش های جدید، در درک تئوری روش های چندگامی.
نکته: قضیه دالکوئیست محدودیت های مهمی بر روی روش های LMM تحمیل می کند.
