روش ضمنی (Implicit Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش ضمنی (Implicit Methods) :
روش هایی که y_{n+1} در دو طرف معادله ظاهر می شود
توضیح ساده: روش های ضمنی دسته ای از روش های عددی هستند که در آنها مقدار مجهول در گام جدید (y_{n+1}) در هر دو طرف معادله ظاهر می شود. برای مثال، در روش اویلر پسرو، داریم y_{n+1} = y_n + h f(t_{n+1}, y_{n+1}). این روش ها نیاز به حل یک معادله (معمولا غیرخطی) در هر گام دارند، اما در عوض پایداری بسیار بالایی دارند و برای معادلات سفت (Stiff) ضروری هستند.
شرح گام به گام: در روش های ضمنی، در هر گام باید معادله G(y_{n+1}) = y_{n+1} - y_n - h f(t_{n+1}, y_{n+1}) = 0 را حل کنیم. این کار معمولا با روش های تکرار مانند:
- تکرار ساده (Fixed-point iteration): y_{n+1}^{(k+1)} = y_n + h f(t_{n+1}, y_{n+1}^{(k)})
- روش نیوتن: با مشتق گیری نسبت به y_{n+1}
روش نیوتن همگرایی سریع تری دارد اما نیاز به محاسبه مشتق f نسبت به y دارد.
معروف ترین روش های ضمنی: اویلر پسرو، روش ذوزنقه ای، روش های آدامز-مولتون، روش های BDF.
مثال عددی: معادله سخت y' = -1000y با y(0)=1، h=0.1. روش اویلر پیشرو واگرا می شود. روش اویلر پسرو: y₁ = 1/(1+1000*0.1) = 1/101 ≈ 0.0099. روش ذوزنقه ای: y₁ = (1-500*0.1)/(1+500*0.1) = (1-50)/(1+50) = -49/51 ≈ -0.96؟! برای این معادله خاص، روش ذوزنقه ای ممکن است نوسان کند. روش BDF1 (اویلر پسرو) پایدار است.
مزایا: پایداری عالی (به ویژه برای معادلات سفت)، امکان استفاده از گام های بزرگ، دقت خوب.
معایب: نیاز به حل معادله در هر گام (هزینه محاسباتی بالا)، پیاده سازی پیچیده، ممکن است برای توابع غیرخطی همگرایی کند باشد.
کاربردها: در شبیه سازی مدارهای الکتریکی، در دینامیک سیالات، در واکنش های شیمیایی، در هر جایی که معادلات سفت وجود دارند.
نکته: روش های ضمنی برای مسائل سفت (جایی که مقادیر ویژه با قسمت حقیقی منفی بزرگ وجود دارد) ضروری هستند.
