روش چندگامی (Multistep Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش چندگامی (Multistep Methods) :
روش هایی که از اطلاعات چند گام قبلی استفاده می کنند
توضیح ساده: روش های چندگامی (Multistep) دسته ای از روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل هستند که برای محاسبه y_{n+1}، از مقادیر y و مشتق در چند نقطه قبلی (t_n, t_{n-1}, ...) استفاده می کنند. این در مقابل روش های تک گامی (مثل رونگ-کوتا) است که فقط از t_n استفاده می کنند. روش های چندگامی می توانند صریح یا ضمنی باشند. معروف ترین آنها روش های آدامز هستند.
شرح گام به گام: فرمول عمومی یک روش چندگامی خطی (Linear Multistep Method) به صورت زیر است:
\[ \sum_{j=0}^k \alpha_j y_{n+j} = h \sum_{j=0}^k \beta_j f(t_{n+j}, y_{n+j}) \]که در آن α_k معمولا ۱ است. اگر β_k = 0، روش صریح است و اگر β_k ≠ 0، روش ضمنی است. برای شروع یک روش چندگامی با k گام، به k مقدار اولیه (y₀, y₁, ..., y_{k-1}) نیاز داریم که معمولا با یک روش تک گامی (مثل RK4) محاسبه می شوند.
انواع روش های چندگامی:
- آدامز-بشفورث (صریح): β_k = 0
- آدامز-مولتون (ضمنی): β_k ≠ 0
- روش های پس رو تفاضلی (BDF): برای معادلات سفت
- روش های نیستروم (برای معادلات مرتبه دوم)
مثال: روش آدامز-بشفورث مرتبه ۲: y_{n+1} = y_n + (h/2)(3f_n - f_{n-1})
مزایا: کارآمد (یک ارزیابی تابع در هر گام برای روش های صریح)، دقت بالا با هزینه کم، مناسب برای مسائل با محاسبات سنگین تابع.
معایب: نیاز به مقادیر شروع، پایداری محدودتر نسبت به روش های تک گامی، پیاده سازی پیچیده تر.
کاربردها: در شبیه سازی های طولانی مدت، در مسائل با توابع پرهزینه، در دینامیک سیالات.
نکته: روش های چندگامی پایه ای برای روش های پیشگو-اصلاح کننده هستند.
