روش هاین (Heun's Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش هاین (Heun's Method) :
روش رونگ-کوتای درجه ۲ با ضرایب خاص
توضیح ساده: روش هاین (با تلفظ هویِن) یک روش رونگ-کوتای درجه ۲ است که گاهی با روش هان اشتباه گرفته می شود. در واقع روش هاین همان روش اویلر اصلاح شده است که قبلا معرفی شد. در برخی منابع، روش هاین با ضرایب (۱/۲, ۱/۲) و روش هان با ضرایب دیگر معرفی می شود. اما در عمل، این دو نام اغلب به یک روش اشاره دارند. برای جلوگیری از سردرگمی، بهتر است نام "روش اویلر اصلاح شده" یا "روش رونگ-کوتای درجه ۲" استفاده شود.
شرح گام به گام: فرمول روش هاین (همان روش هان) به صورت زیر است:
\[ k_1 = f(t_n, y_n) \] \[ k_2 = f(t_n + h, y_n + h k_1) \] \[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(k_1 + k_2) \]این روش از مرتبه ۲ است و خطای آن O(h³) موضعی است. این روش را می توان به عنوان یک روش پیشگو-اصلاح کننده با یک بار اصلاح نیز در نظر گرفت.
مثال عددی: همان معادله y' = y: k₁ = 1 k₂ = f(0.1, 1.1) = 1.1 y₁ = 1 + 0.05*(1 + 1.1) = 1.105 (دقیقا مثل روش هان)
مزایا: ساده، دقت مرتبه دوم، پایدارتر از اویلر.
معایب: دو ارزیابی تابع در هر گام، دقت کمتر از RK4.
کاربردها: در آموزش، در مسائل با دقت متوسط.
نکته: در برخی منابع، روش هاین با روش هان یکی است. نام این روش به افتخار پیتر هاین، ریاضیدان آلمانی، است.
