روش هان (Huen's Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش هان (Huen's Method) :
روش پیشگو-اصلاح کننده دو مرحله ای مرتبه ۲
توضیح ساده: روش هان (که گاهی روش اویلر اصلاح شده نیز نامیده می شود) یک روش پیشگو-اصلاح کننده ساده با دو مرحله است. پیشگو از روش اویلر و اصلاح کننده از روش ذوزنقه ای استفاده می کند. این روش همان روش رونگ-کوتای درجه ۲ با ضرایب خاص است. این روش برای آموزش مفاهیم پیشگو-اصلاح کننده بسیار مناسب است.
شرح گام به گام: مراحل روش هان:
۱. پیشگو (Predictor) با روش اویلر:
\[ y_{n+1}^* = y_n + h f(t_n, y_n) \]۲. اصلاح کننده (Corrector) با روش ذوزنقه ای:
\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}[f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y_{n+1}^*)] \]این روش را می توان چند بار تکرار کرد تا به همگرایی برسد، اما معمولا یک بار کافی است. خطای این روش از مرتبه O(h³) موضعی و O(h²) سراسری است.
مثال عددی: معادله y' = y با y(0)=1، h=0.1: پیشگو: y₁* = 1 + 0.1*1 = 1.1 اصلاح کننده: y₁ = 1 + 0.05*(1 + 1.1) = 1 + 0.05*2.1 = 1.105 جواب دقیق 1.10517، خطا 0.00017 (عالی).
مزایا: ساده، دقت خوب (مرتبه ۲)، پایدارتر از اویلر.
معایب: دقت کمتر از روش های مرتبه بالاتر، دو بار ارزیابی تابع در هر گام.
کاربردها: در آموزش، در مسائل ساده، به عنوان مثال پایه ای برای روش های پیشگو-اصلاح کننده.
نکته: این روش به افتخار کارل هین، ریاضیدان آلمانی، نامگذاری شده است. (توجه: هان و هاین دو نفر متفاوت هستند)
