روش میلن (Milne's Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش میلن (Milne's Method) :
روش پیشگو-اصلاح کننده مبتنی بر قاعده سیمپسون
توضیح ساده: روش میلن یک روش پیشگو-اصلاح کننده خاص است که از قاعده سیمپسون برای انتگرال گیری عددی استفاده می کند. پیشگوی آن از نوع آدامز-بشفورث نیست، بلکه از انتگرال گیری روی بازه [t_{n-3}, t_{n+1}] با درون یابی درجه ۳ استفاده می کند. این روش در گذشته محبوب بود، اما پایداری آن برای برخی مسائل مشکل دارد و امروزه کمتر استفاده می شود.
شرح گام به گام: روش میلن (که گاهی میلن-سیمپسون نامیده می شود) شامل یک پیشگو و یک اصلاح کننده است:
پیشگو (Milne's predictor):
\[ y_{n+1}^{(0)} = y_{n-3} + \frac{4h}{3}(2f_n - f_{n-1} + 2f_{n-2}) \]اصلاح کننده (Simpson's rule):
\[ y_{n+1}^{(1)} = y_{n-1} + \frac{h}{3}(f_{n-1} + 4f_n + f_{n+1}^{(0)}) \]این روش از مرتبه ۴ است، اما ناحیه پایداری آن محدود است و برای معادلات با نوسانات زیاد ممکن است ناپایدار شود.
مثال عددی: معادله y' = -y (پایدار). با h=0.1 و مقادیر شروع از RK4، روش میلن نتایج خوبی می دهد. اما برای معادله y' = y (ناپایدار)، ممکن است خطا رشد کند. به دلیل مسائل پایداری، روش آدامز-مولتون ترجیح داده می شود.
مزایا: دقت خوب برای مسائل پایدار، سادگی نسبی.
معایب: پایداری ضعیف، برای مسائل ناپایدار مناسب نیست.
کاربردها: در مسائل خاص با پایداری تضمین شده، در متون درسی به عنوان مثال.
نکته: این روش به افتخار ویلیام میلن، ریاضیدان اسکاتلندی، نامگذاری شده است.
