روش پیشگو-اصلاح کننده (Predictor-Corrector Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش پیشگو-اصلاح کننده (Predictor-Corrector Methods) :
توضیح ساده: روش های پیشگو-اصلاح کننده ترکیبی از یک روش صریح (برای پیشگویی) و یک روش ضمنی (برای اصلاح) هستند. ابتدا با یک روش صریح (مثل آدامز-بشفورث) یک مقدار پیشگویی شده برای y_{n+1} محاسبه می شود. سپس این مقدار در روش ضمنی (مثل آدامز-مولتون) برای تصحیح استفاده می شود. این کار را می توان چند بار تکرار کرد. این روش ها مزایای هر دو نوع روش را دارند: کارایی روش صریح و پایداری روش ضمنی.
شرح گام به گام: یک جفت متداول: پیشگو از آدامز-بشفورث مرتبه ۴ و اصلاح کننده از آدامز-مولتون مرتبه ۴:
۱. پیشگو:
\[ P: y_{n+1}^{(0)} = y_n + \frac{h}{24}(55f_n - 59f_{n-1} + 37f_{n-2} - 9f_{n-3}) \]۲. ارزیابی:
\[ E: f_{n+1}^{(0)} = f(t_{n+1}, y_{n+1}^{(0)}) \]۳. اصلاح کننده:
\[ C: y_{n+1}^{(1)} = y_n + \frac{h}{24}(9f_{n+1}^{(0)} + 19f_n - 5f_{n-1} + f_{n-2}) \]۴. ارزیابی مجدد (اختیاری):
\[ E: f_{n+1}^{(1)} = f(t_{n+1}, y_{n+1}^{(1)}) \]این روش PECE (Predict-Evaluate-Correct-Evaluate) نام دارد. می توان اصلاح را تکرار کرد تا همگرایی حاصل شود.
مثال عددی: معادله y' = y با h=0.1. با روش PECE مرتبه ۴ پس از چند گام، نتایج بسیار دقیقی (خطا حدود 10⁻⁶) بدست می آید. این روش در کتابخانه های عددی مانند ode113 در MATLAB استفاده می شود.
مزایا: ترکیب دقت و پایداری، امکان تخمین خطا، کارآمد.
معایب: نیاز به مقادیر شروع، پیاده سازی پیچیده تر از روش های تک گامی.
کاربردها: در حل معادلات دیفرانسیل معمولی با دقت بالا، در شبیه سازی های طولانی مدت، در نرم افزارهای عددی.
نکته: روش های پیشگو-اصلاح کننده پایه ای برای روش های تطبیقی با کنترل گام هستند.
