روش آدامز-مولتون (Adams-Moulton Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش آدامز-مولتون (Adams-Moulton Methods) :
روش چندگامی ضمنی:
\[ y_{n+1} = y_n + h \sum_{j=-1}^{k-2} \beta_j f(t_{n-j}, y_{n-j}) \]توضیح ساده: روش های آدامز-مولتون خانواده ای از روش های چندگامی ضمنی (Implicit) هستند. در این روش ها، علاوه بر نقاط قبلی، از مقدار مشتق در نقطه جدید (t_{n+1}) نیز استفاده می شود. این روش ها پایداری بهتری نسبت به روش های صریح دارند، اما نیاز به حل یک معادله در هر گام دارند. آنها معمولا در ترکیب با روش های صریح (به عنوان اصلاح کننده) استفاده می شوند.
شرح گام به گام: فرمول عمومی روش آدامز-مولتون با k مرحله (استفاده از k نقطه شامل نقطه جدید) به صورت زیر است:
\[ y_{n+1} = y_n + h \sum_{j=-1}^{k-2} \beta_j f_{n-j} \]که f_{n+1} نیز در آن ظاهر می شود. برای k=1: y_{n+1} = y_n + h f_{n+1} (روش اویلر پسرو). برای k=2: y_{n+1} = y_n + (h/2)(f_{n+1} + f_n). برای k=3: y_{n+1} = y_n + (h/12)(5f_{n+1} + 8f_n - f_{n-1}). این روش ها از مرتبه k+1 هستند (دقت یک واحد بیشتر از روش های بشفورث با همان تعداد نقطه).
مثال عددی: معادله y' = y با y(0)=1. با روش آدامز-مولتون مرتبه ۲ (ذوزنقه ای) و h=0.1: y_{n+1} = y_n + 0.05(y_{n+1} + y_n) ⇒ y_{n+1}(1 - 0.05) = y_n(1 + 0.05) ⇒ y_{n+1} = y_n * 1.05/0.95 = y_n * 1.105263 با y₀=1: y₁ = 1.105263، جواب دقیق 1.105171، خطا 0.000092 (بسیار کم).
مزایا: پایداری عالی، دقت بالاتر نسبت به روش های صریح با همان تعداد نقطه.
معایب: نیاز به حل معادله در هر گام (هزینه بیشتر)، پیاده سازی پیچیده تر.
کاربردها: در ترکیب با روش های پیشگو-اصلاح کننده، در مسائل سخت، در شبیه سازی های دقیق.
نکته: این روش به افتخار ری مولتون، ریاضیدان آمریکایی، نامگذاری شده است.
