روش آدامز-بشفورث (Adams-Bashforth Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش آدامز-بشفورث (Adams-Bashforth Methods) :
روش چندگامی صریح:
\[ y_{n+1} = y_n + h \sum_{j=0}^{k-1} \beta_j f(t_{n-j}, y_{n-j}) \]توضیح ساده: روش های آدامز-بشفورث خانواده ای از روش های چندگامی صریح (Explicit) هستند. در این روش ها، برای پیش بینی y_{n+1}، از مقادیر تابع f در چند نقطه قبلی (t_n, t_{n-1}, ...) استفاده می شود. این روش ها بر اساس درون یابی چندجمله ای از مشتق در نقاط گذشته ساخته می شوند. آنها برای مسائلی که محاسبه f پرهزینه است، کارآمد هستند زیرا از اطلاعات قبلی استفاده می کنند.
شرح گام به گام: فرمول عمومی روش آدامز-بشفورث با k مرحله (استفاده از k نقطه قبلی) به صورت زیر است:
\[ y_{n+1} = y_n + h \sum_{j=0}^{k-1} \beta_j f_{n-j} \]که f_{n-j} = f(t_{n-j}, y_{n-j}). ضرایب β_j از درون یابی چندجمله ای که از نقاط (t_{n-j}, f_{n-j}) می گذرد و انتگرال گیری از آن چندجمله ای بدست می آید. برای k=1: روش اویلر (β₀=1). برای k=2: y_{n+1} = y_n + (h/2)(3f_n - f_{n-1}). برای k=3: y_{n+1} = y_n + (h/12)(23f_n - 16f_{n-1} + 5f_{n-2}). این روش ها از مرتبه k هستند.
مثال عددی: معادله y' = y با y(0)=1. با روش آدامز-بشفورث مرتبه ۲ (k=2) و h=0.1. نیاز به مقادیر قبلی: با RK4 دو گام اول را محاسبه می کنیم: y₀=1, y₁=1.10517. سپس f₀=1, f₁=1.10517. برای گام دوم به سوم: y₂ = y₁ + (0.1/2)(3f₁ - f₀) = 1.10517 + 0.05*(3*1.10517 - 1) = 1.10517 + 0.05*(3.31551 - 1) = 1.10517 + 0.05*2.31551 = 1.10517 + 0.11578 = 1.22095. جواب دقیق e^0.2=1.22140، خطا 0.00045.
مزایا: کارآمد (یک ارزیابی تابع در هر گام)، دقت خوب، مناسب برای مسائل با محاسبات سنگین تابع.
معایب: نیاز به مقادیر شروع با روش دیگر، پایداری محدودتر نسبت به روش های ضمنی.
کاربردها: در شبیه سازی های طولانی مدت، در مسائل هوافضا، در دینامیک سیالات.
نکته: این روش توسط جان کوشی آدامز و فرانسیس بشفورث توسعه یافت.
