روش رونگ-کوتا-نیستروم (Runge-Kutta-Nyström Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش رونگ-کوتا-نیستروم (Runge-Kutta-Nyström Method) :
روشی برای حل مستقیم معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم
\[ y'' = f(t, y, y') \]توضیح ساده: روش رونگ-کوتا-نیستروم یک تعمیم از روش رونگ-کوتا برای حل مستقیم معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم است، بدون اینکه نیاز به تبدیل آنها به دستگاه معادلات مرتبه اول باشد. این روش به ویژه برای مسائل دینامیکی مانند حرکت نوسانگرها و معادلات نیوتن بسیار کارآمد است، زیرا با محاسبات کمتر به دقت مشابه روش های رونگ-کوتای استاندارد می رسد.
شرح گام به گام: برای معادله y'' = f(t, y, y')، روش RKN با s مرحله به صورت زیر تعریف می شود:
\[ k_i = f\left(t_n + c_i h, y_n + h \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} k_j, y'_n + h \sum_{j=1}^{i-1} \hat{a}_{ij} k_j\right) \]سپس:
\[ y_{n+1} = y_n + h y'_n + h^2 \sum_{i=1}^s b_i k_i \] \[ y'_{n+1} = y'_n + h \sum_{i=1}^s \hat{b}_i k_i \]ضرایب در جداول Butcher ویژه ای برای روش RKN ارائه می شوند. این روش می تواند مرتبه های دقت مختلفی داشته باشد (معمولا مرتبه ۴ و ۵).
مثال عددی: نوسانگر هماهنگ y'' = -y با شرایط y(0)=1, y'(0)=0. روش RKN مرتبه ۴ با گام h=0.1: ضرایب ویژه RKN محاسبه می شود. نتیجه در t=0.1: y≈0.9950, y'≈-0.0998 که با جواب دقیق (cos(0.1)=0.9950, sin(0.1)=0.0998-) مطابقت خوبی دارد. این روش با دو ارزیابی تابع در هر گام به دقت مرتبه ۴ می رسد، در حالی که RK4 استاندارد برای دستگاه مرتبه اول نیاز به ۴ ارزیابی دارد.
مزایا: کارآمد برای معادلات مرتبه دوم، کاهش تعداد ارزیابی ها، دقت بالا.
معایب: پیاده سازی پیچیده تر، ضرایب خاص برای هر مرتبه نیاز به جدول بندی دارد.
کاربردها: در دینامیک مولکولی، در شبیه سازی حرکت سیارات، در مکانیک سماوی، در مسائل ارتعاشات.
نکته: این روش به افتخار اریک نیستروم، ریاضیدان فنلاندی، نامگذاری شده است.
