روش رونگ-کوتا-چکالفسکی (Runge-Kutta-Chebyshev Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش رونگ-کوتا-چکالفسکی (Runge-Kutta-Chebyshev Method) :
توضیح ساده: روش رونگ-کوتا-چکالفسکی یک روش تخصصی برای حل معادلات دیفرانسیل سفت (Stiff) با استفاده از ایده های چندجمله ای های چبیشف است. این روش ها ناحیه پایداری بسیار بزرگی دارند و می توانند با گام های بزرگ تر نسبت به RK4 کار کنند. آنها برای مسائلی که از روش های صریح معمولی واگرا می شوند، مناسب هستند. نام چکالفسکی به دلیل استفاده از چندجمله ای های چبیشف در ساخت ضرایب است.
شرح گام به گام: روش های RKC (Runge-Kutta-Chebyshev) خانواده ای از روش های صریح با مراحل متعدد (Stage) هستند که ضرایب آنها به گونه ای انتخاب شده که ناحیه پایداری در امتداد محور حقیقی منفی بسیار بزرگ باشد. این روش ها برای معادلات سفت با مقادیر ویژه حقیقی منفی (مثل معادلات دیفیوژن) عالی هستند. تعداد مراحل (s) می تواند متغیر باشد و با افزایش s، ناحیه پایداری به صورت O(s²) رشد می کند. دقت این روش ها معمولا مرتبه دوم است.
مثال عددی: معادله دیفیوژن ساده y' = -100y (که قبلا مثال سفت داشتیم). با روش RK4 با h=0.1، جواب واگرا می شود. با روش RKC با ۵ مرحله (s=5)، می توان با h=0.1 نیز جواب پایدار به دست آورد. این روش ترکیبی از پایداری ضمنی ها با سادگی صریح ها است.
مزایا: پایدار برای معادلات سفت، صریح (نیاز به حل معادله ندارد)، ناحیه پایداری بزرگ.
معایب: نیاز به مراحل متعدد (هزینه بیشتر از روش های ساده)، پیاده سازی پیچیده تر.
کاربردها: در حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی سهموی (مانند معادله حرارت)، در شیمی محاسباتی، در دینامیک سیالات.
نکته: این روش در سال های اخیر محبوبیت یافته و پیاده سازی هایی در Python و MATLAB دارد.
