روش رونگ-کوتا-فلبرگ (Runge-Kutta-Fehlberg Method - RKF45)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش رونگ-کوتا-فلبرگ (Runge-Kutta-Fehlberg Method - RKF45) :
روشی با تخمین خطای داخلی و کنترل گام
توضیح ساده: روش رونگ-کوتا-فلبرگ (معروف به RKF45) یک روش تطبیقی (Adaptive) است که در آن دو تقریب از مرتبه ۴ و ۵ با استفاده از شش ارزیابی تابع محاسبه می شود. تفاوت این دو تقریب به عنوان تخمین خطا استفاده می شود و بر اساس آن، اندازه گام تنظیم می گردد. این روش برای مسائلی که رفتار تابع در طول زمان تغییر می کند، بسیار کارآمد است.
شرح گام به گام: در روش RKF45، ضرایب خاصی (که توسط فلبرگ پیشنهاد شده) به کار می رود که با شش ارزیابی تابع، هم تقریب مرتبه ۴ و هم تقریب مرتبه ۵ را بدهد. مراحل:
۱. محاسبه شش مقدار k₁ تا k₆ با استفاده از فرمول های خاص.
۲. محاسبه y_{n+1} از مرتبه ۴ و z_{n+1} از مرتبه ۵.
۳. تخمین خطا: E = |z_{n+1} - y_{n+1}|
۴. اگر خطا کمتر از آستانه مورد نظر بود، گام قبول و گام بعدی افزایش می یابد. اگر خطا بیشتر بود، گام رد شده و با گام کوچکتر تکرار می شود.
این روش در کتابخانه های عددی مانند ode45 در MATLAB استفاده می شود.
کاربرد: در MATLAB، دستور [t,y] = ode45(@(t,y) y, [0 1], 1) معادله y'=y را با روش RKF45 حل می کند. این روش گام ها را خودکار تنظیم می کند تا به دقت مطلوب برسد. در جاهایی که جواب تغییرات سریع دارد، گام را ریز و در جاهای هموار، گام را درشت انتخاب می کند.
مزایا: کنترل خودکار خطا، کارآمد برای مسائل با تغییرات موضعی، دقت بالا.
معایب: شش ارزیابی تابع در هر گام (هزینه بیشتر از RK4)، پیاده سازی پیچیده تر.
کاربردها: استانداردترین روش در نرم افزارهای عددی (ode45)، در شبیه سازی های علمی، در مسائل مهندسی.
نکته: این روش توسط اروین فلبرگ در دهه ۱۹۶۰ توسعه یافت.
