روش رونگ-کوتا درجه ۴ (Runge-Kutta Method of Order 4 - RK4)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش رونگ-کوتا درجه ۴ (Runge-Kutta Method of Order 4 - RK4) :
\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \] \[ k_1 = f(t_n, y_n) \] \[ k_2 = f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1) \] \[ k_3 = f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2) \] \[ k_4 = f(t_n + h, y_n + h k_3) \]توضیح ساده: روش رونگ-کوتا درجه ۴ (RK4) محبوب ترین و پرکاربردترین روش برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی است. این روش ترکیبی از چهار ارزیابی تابع در هر گام است که با وزن های مناسب جمع می شوند تا دقت مرتبه چهارم را فراهم کنند. RK4 برای اکثر مسائل غیرسخت، ترکیب عالی از دقت، پایداری و سادگی را ارائه می دهد.
شرح گام به گام: در هر گام زمانی، چهار مقدار شیب محاسبه می شود:
k₁: شیب در ابتدای بازه (با استفاده از y فعلی)
k₂: شیب در وسط بازه با استفاده از یک گام اویلر با k₁
k₃: شیب در وسط بازه با استفاده از یک گام اویلر با k₂
k₄: شیب در انتهای بازه با استفاده از یک گام اویلر با k₃
سپس میانگین وزنی این شیب ها (با وزن های ۱,۲,۲,۱) محاسبه شده و برای پیش بینی y_{n+1} استفاده می شود. خطای موضعی این روش O(h⁵) و خطای سراسری O(h⁴) است.
مثال عددی: معادله y' = y، y(0)=1، h=0.1: k₁ = f(0,1) = 1 k₂ = f(0.05, 1 + 0.05*1) = f(0.05,1.05) = 1.05 k₃ = f(0.05, 1 + 0.05*1.05) = f(0.05,1.0525) = 1.0525 k₄ = f(0.1, 1 + 0.1*1.0525) = f(0.1,1.10525) = 1.10525 y₁ = 1 + (0.1/6)*(1 + 2*1.05 + 2*1.0525 + 1.10525) = 1 + (0.016667)*(1 + 2.1 + 2.105 + 1.10525) = 1 + 0.016667*6.31025 = 1 + 0.10517 = 1.10517 جواب دقیق: 1.10517092، خطا تقریبا 0 (تا ۵ رقم اعشار).
مزایا: دقت عالی (مرتبه ۴)، پایدار برای اکثر مسائل، پیاده سازی آسان، استاندارد صنعتی.
معایب: چهار ارزیابی تابع در هر گام (هزینه بیشتر از RK2). برای معادلات سخت مناسب نیست.
کاربردها: در شبیه سازی های علمی و مهندسی، در نرم افزارهای عددی، در حل مسائل دینامیک، در کنترل.
نکته: RK4 آنقدر محبوب است که بسیاری از مردم وقتی می گویند "روش رونگ-کوتا" دقیقا همین روش را منظور می کنند.
