روش رونگ-کوتا درجه ۲ (Runge-Kutta Method of Order 2 - RK2)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش رونگ-کوتا درجه ۲ (Runge-Kutta Method of Order 2 - RK2) :
\[ y_{n+1} = y_n + h \left( \frac{1}{2}k_1 + \frac{1}{2}k_2 \right) \] \[ k_1 = f(t_n, y_n) \] \[ k_2 = f(t_n + h, y_n + h k_1) \]توضیح ساده: روش رونگ-کوتا درجه ۲ یک خانواده از روش هاست که دقت مرتبه دوم دارند. معروف ترین عضو این خانواده روش اویلر اصلاح شده (هین) است که قبلا معرفی شد. ایده اصلی این است که با ترکیب چند ارزیابی از تابع f در نقاط مختلف، به دقت بالاتر بدون نیاز به مشتقات بالا برسیم. این روش ساده ترین عضو خانواده رونگ-کوتا است.
شرح گام به گام: فرمول عمومی روش رونگ-کوتای درجه ۲ با دو مرحله:
\[ k_1 = f(t_n, y_n) \] \[ k_2 = f(t_n + \alpha h, y_n + \alpha h k_1) \] \[ y_{n+1} = y_n + h ( (1-\frac{1}{2\alpha}) k_1 + \frac{1}{2\alpha} k_2 ) \]برای α=1، فرمول اویلر اصلاح شده به دست می آید. برای α=1/2، روش نقطه میانی (Midpoint Method) به دست می آید:
\[ k_1 = f(t_n, y_n) \] \[ k_2 = f(t_n + h/2, y_n + (h/2) k_1) \] \[ y_{n+1} = y_n + h k_2 \]این روش نیز دقت مرتبه دوم دارد.
مثال عددی با روش نقطه میانی: معادله y' = y، y(0)=1، h=0.1: k₁ = 1 k₂ = f(0.05, 1 + 0.05*1) = f(0.05, 1.05) = 1.05 y₁ = 1 + 0.1 * 1.05 = 1.105 جواب دقیق: 1.10517، خطا: 0.00017 (مشابه روش اویلر اصلاح شده).
مزایا: دقت بهتر از اویلر (مرتبه ۲)، ساده، محاسبات کم تر از روش های مرتبه بالاتر.
معایب: دقت کمتر از روش های مرتبه ۴، برای معادلات سخت ممکن است ناپایدار باشد.
کاربردها: در مسائل با دقت متوسط، در شبیه سازی های سریع، در آموزش.
نکته: این روش توسط کارل رونگ و مارتین ویلهم کوتا توسعه یافت.
