روش تیلور (Taylor Series Method for ODEs)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تیلور (Taylor Series Method for ODEs) :
\[ y_{n+1} = y_n + h y'_n + \frac{h^2}{2} y''_n + \cdots + \frac{h^p}{p!} y^{(p)}_n \]توضیح ساده: روش تیلور یک روش مستقیم برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با استفاده از بسط تیلور است. در این روش، مشتقات مرتبه بالاتر تابع را از معادله دیفرانسیل محاسبه می کنیم و سپس با استفاده از سری تیلور، مقدار تابع در گام بعدی را پیش بینی می کنیم. این روش می تواند دقت بسیار بالایی داشته باشد، اما محاسبه مشتقات مرتبه بالا ممکن است دشوار باشد.
شرح گام به گام: از معادله y' = f(t,y)، می توان مشتقات مرتبه بالاتر را با مشتق گیری از f محاسبه کرد:
\[ y'' = f_t + f_y f \] \[ y''' = f_{tt} + 2f_{ty}f + f_{yy}f^2 + f_y(f_t + f_y f) \]و به همین ترتیب. سپس با بسط تیلور تا مرتبه p:
\[ y_{n+1} = y_n + h y'_n + \frac{h^2}{2} y''_n + \cdots + \frac{h^p}{p!} y^{(p)}_n \]خطای این روش O(h^{p+1}) است. هرچه p بزرگتر باشد، دقت بیشتر و محاسبات سنگین تر.
مثال عددی: معادله y' = y با y(0)=1. مشتقات: y' = y، y'' = y' = y، y''' = y، ... همه مشتقات برابر y هستند. بسط تیلور مرتبه ۴ با h=0.1: y(0.1) ≈ 1 + 0.1*1 + 0.01/2*1 + 0.001/6*1 + 0.0001/24*1 = 1 + 0.1 + 0.005 + 0.0001667 + 0.00000417 = 1.10517087 جواب دقیق e^0.1 ≈ 1.10517092، خطا بسیار کم است.
مزایا: دقت بسیار بالا با انتخاب مرتبه مناسب، خطا قابل کنترل.
معایب: نیاز به محاسبه مشتقات جزئی مراتب بالا که ممکن است بسیار پیچیده شود. برای معادلات غیرخطی عملا غیرعملی است.
کاربردها: در مسائل با معادلات خطی، در تحلیل خطای روش های دیگر، در روش های نمادین.
نکته: روش تیلور پایه ای برای روش های رونگ-کوتا است که بدون محاسبه مشتقات بالا به دقت مشابه می رسند.
