روش جهش قورباغه ای (Leapfrog Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش جهش قورباغه ای (Leapfrog Method) :
\[ v_{n+1/2} = v_{n-1/2} + a(t_n, x_n) \Delta t \] \[ x_{n+1} = x_n + v_{n+1/2} \Delta t \]توضیح ساده: روش جهش قورباغه ای یک روش مرتبه دوم برای حل معادلات حرکت است. در این روش، سرعت و موقعیت در نقاط نیم گام (Staggered Grid) ذخیره می شوند. به این صورت که موقعیت در گام های کامل و سرعت در گام های نیمه محاسبه می شوند. این روش برای مسائل نوسانی بسیار پایدار است و انرژی را به خوبی پایسته نگه می دارد. نام آن از اینجا می آید که موقعیت و سرعت مانند یک قورباغه از روی یکدیگر می جهند.
شرح گام به گام: ابتدا باید یک گام اولیه برای سرعت در t_{1/2} با روش دیگری (مثل اویلر) محاسبه کنیم. سپس برای n=0,1,2,...:
\[ v_{n+1/2} = v_{n-1/2} + a(t_n, x_n) \Delta t \] \[ x_{n+1} = x_n + v_{n+1/2} \Delta t \]این روش از مرتبه دوم دقیق است و خطای آن O(Δt²) می باشد. برای نوسانگر هماهنگ، این روش در طول زمان دامنه ثابتی را حفظ می کند (پایستگی انرژی).
مثال عددی: نوسانگر هماهنگ با ω=1، x₀=1, v₀=0. با Δt=0.1. ابتدا v_{1/2} را با اویلر: v_{1/2} = v₀ + a(x₀) (Δt/2) = 0 + (-1)*1*0.05 = -0.05. سپس: x₁ = x₀ + v_{1/2} Δt = 1 + (-0.05)*0.1 = 0.995 v_{3/2} = v_{1/2} + a(x₁) Δt = -0.05 + (-1)*0.995*0.1 = -0.05 -0.0995 = -0.1495 x₂ = x₁ + v_{3/2} Δt = 0.995 + (-0.1495)*0.1 = 0.98005 این روش دقت خوبی دارد و انرژی پایسته می ماند.
مزایا: مرتبه دوم، پایدار، پایستگی انرژی برای مسائل نوسانی، ساده.
معایب: نیاز به یک روش دیگر برای شروع، برای مسائل با میرایی ممکن است خطا داشته باشد.
کاربردها: در الکترودینامیک (معادلات ماکسول با روش FDTD)، در دینامیک سیالات، در شبیه سازی ذرات.
نکته: این روش در روش Yee برای حل معادلات ماکسول استفاده می شود.
