روش اویلر-کرومر (Euler-Cromer Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش اویلر-کرومر (Euler-Cromer Method) :
\[ v_{n+1} = v_n + a(t_n, x_n) \Delta t \] \[ x_{n+1} = x_n + v_{n+1} \Delta t \]توضیح ساده: روش اویلر-کرومر یک تغییر ساده اما مهم در روش اویلر برای حل معادلات حرکت (دستگاه های مرتبه دوم) است. در مکانیک، معادله حرکت به صورت دو معادله مرتبه اول نوشته می شود: dx/dt = v و dv/dt = a. در روش اویلر-کرومر، ابتدا سرعت در گام جدید محاسبه می شود و سپس از این سرعت جدید برای محاسبه موقعیت استفاده می شود. این روش برای مسائل نوسانی (مثل نوسانگر هماهنگ) بسیار پایدارتر از روش اویلر ساده است.
شرح گام به گام: برای یک دستگاه مرتبه دوم مانند نوسانگر هماهنگ:
\[ a(t_n, x_n) = -\omega^2 x_n \]مراحل:
\[ v_{n+1} = v_n + a(t_n, x_n) \Delta t \] \[ x_{n+1} = x_n + v_{n+1} \Delta t \]تفاوت با روش اویلر معمولی: در روش معمولی، موقعیت با سرعت قدیم به روز می شود (x_{n+1} = x_n + v_n Δt). این تغییر کوچک باعث می شود روش اویلر-کرومر انرژی را در سیستم های نوسانی بهتر پایسته نگه دارد و از رشد بی رویه دامنه جلوگیری کند.
مثال عددی: نوسانگر هماهنگ ساده با ω=1، شرایط اولیه x₀=1, v₀=0. با Δt=0.1: روش اویلر معمولی پس از چند گام دامنه افزایش می یابد (ناپایدار). روش اویلر-کرومر: گام اول: v₁ = 0 + (-1)*0.1 = -0.1، x₁ = 1 + (-0.1)*0.1 = 0.99 گام دوم: v₂ = -0.1 + (-1)*0.99*0.1 = -0.1 -0.099 = -0.199، x₂ = 0.99 + (-0.199)*0.1 = 0.9701 این روش دامنه را نسبتا پایدار نگه می دارد.
مزایا: پایدارتر از اویلر برای مسائل نوسانی، ساده، پایستگی انرژی بهتر.
معایب: دقت همچنان مرتبه اول، برای مسائل با میرایی ممکن است خطا داشته باشد.
کاربردها: در شبیه سازی حرکت سیارات، در نوسانگرها، در دینامیک مولکولی، در انیمیشن سازی فیزیک.
نکته: این روش به افتخار آلن کرومر، فیزیکدان، که آن را برای مسائل نجوم استفاده کرد، نامگذاری شده است.
