روش اویلر اصلاح شده (Modified Euler Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش اویلر اصلاح شده (Modified Euler Method) :
\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} [f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y_n + h f(t_n, y_n))] \]توضیح ساده: روش اویلر اصلاح شده (که گاهی روش هین یا روش اویلر-کوشی نامیده می شود) یک روش پیشگو-اصلاح کننده ساده است. ابتدا با روش اویلر یک پیشگویی (Predictor) می کنیم، سپس مقدار مشتق را در نقطه پیشگویی شده محاسبه کرده و با میانگین گرفتن از مشتق در نقطه فعلی و نقطه پیشگویی شده، اصلاح (Corrector) را انجام می دهیم. این روش دقت مرتبه دوم دارد، یعنی بسیار دقیق تر از روش اویلر ساده است.
شرح گام به گام: مراحل برای هر گام:
۱. پیشگویی (Predictor): y*_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)
۲. اصلاح (Corrector): y_{n+1} = y_n + (h/2) [f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y*_{n+1})]
این روش معادل روش رونگ-کوتای درجه ۲ است (با ضرایب خاص) و خطای آن از مرتبه O(h³) در هر گام و O(h²) در سراسر بازه است.
مثال عددی: معادله y' = y با y(0)=1، h=0.1: t₀=0, y₀=1 پیشگویی: y*₁ = 1 + 0.1*1 = 1.1 اصلاح: y₁ = 1 + 0.05*(1 + 1.1) = 1 + 0.05*2.1 = 1 + 0.105 = 1.105 جواب دقیق در t=0.1: e^0.1 ≈ 1.10517، خطا: 0.00017 (بسیار کمتر از خطای روش اویلر ساده که 0.0048 بود).
مزایا: دقت خوب (مرتبه ۲)، ساده تر از روش های رونگ-کوتای مرتبه بالاتر.
معایب: دو بار محاسبه تابع در هر گام (هزینه دو برابر روش اویلر).
کاربردها: در مسائل با دقت متوسط، در آموزش روش های پیشگو-اصلاح کننده.
نکته: این روش گاهی با نام روش هین (Heun's Method) نیز شناخته می شود.
