روش اویلر پسرو (Backward Euler Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش اویلر پسرو (Backward Euler Method) :
\[ y_{n+1} = y_n + h f(t_{n+1}, y_{n+1}) \]توضیح ساده: روش اویلر پسرو یک روش ضمنی (Implicit) است. تفاوت آن با روش اویلر معمولی در این است که شیب در نقطه بعدی (t_{n+1}) محاسبه می شود، نه نقطه فعلی. این روش پایداری بسیار بهتری برای معادلات سخت دارد، اما نیاز به حل یک معادله (معمولا غیرخطی) در هر گام دارد که هزینه محاسباتی را افزایش می دهد.
شرح گام به گام: فرمول روش اویلر پسرو:
\[ y_{n+1} = y_n + h f(t_{n+1}, y_{n+1}) \]چون y_{n+1} در دو طرف معادله ظاهر شده، باید در هر گام معادله G(y_{n+1}) = y_{n+1} - y_n - h f(t_{n+1}, y_{n+1}) = 0 را حل کنیم. این کار معمولا با روش های تکرار مانند نیوتن انجام می شود. خطای این روش نیز مانند اویلر پیشرو از مرتبه O(h) است، اما ناحیه پایداری آن بسیار بزرگتر است.
مثال عددی: معادله y' = -100y با y(0)=1 (یک معادله سخت). جواب دقیق y=e^{-100t}. با h=0.1 (که نسبت به نرخ تغییرات بزرگ است)، روش اویلر پیشرو: y₁ = 1 + 0.1*(-100) = -9 (واگرا). روش اویلر پسرو: y₁ = 1 + 0.1*(-100 y₁) ⇒ y₁ + 10y₁ = 1 ⇒ 11y₁ = 1 ⇒ y₁ = 0.0909، جواب دقیق در t=0.1: e^{-10} ≈ 0.000045، اما حداقل پایداری دارد و واگرا نمی شود. با گام کوچکتر، دقت بهتر می شود.
مزایا: پایداری عالی برای معادلات سخت، مناسب برای مسائل با دینامیک سریع.
معایب: نیاز به حل معادله در هر گام (هزینه بالا)، پیاده سازی پیچیده تر.
کاربردها: در شبیه سازی مدارهای الکتریکی، در دینامیک سیالات، در مسائل شیمیایی با واکنش های سریع.
نکته: روش اویلر پسرو ساده ترین روش از خانواده روش های BDF (Backward Differentiation Formulas) است.
