روش اویلر (Euler's Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش اویلر (Euler's Method) :
\[ y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) \]توضیح ساده: روش اویلر ساده ترین روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) است. این روش بر اساس این ایده کار می کند که از نقطه فعلی، با شیب داده شده توسط معادله دیفرانسیل، یک گام به جلو برداریم. مانند این است که مسیر یک متحرک را با حرکت با سرعت لحظه ای در هر نقطه تقریب بزنیم. این روش پایه ای برای درک روش های پیشرفته تر است، هرچند دقت بالایی ندارد.
شرح گام به گام: مسئله: حل معادله دیفرانسیل y' = f(t,y) با شرایط اولیه y(t₀)=y₀. با انتخاب گام زمانی h، نقاط tₙ = t₀ + n h را داریم. در روش اویلر:
\[ y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) \]این فرمول از بسط تیلور y(tₙ+h) ≈ y(tₙ) + h y'(tₙ) بدست می آید. خطای برش موضعی (خطا در هر گام) از مرتبه O(h²) است، اما خطای سراسری (در کل بازه) از مرتبه O(h) است. یعنی روش اویلر یک روش مرتبه اول است.
مثال عددی: معادله y' = y با شرط اولیه y(0)=1 (جواب دقیق y=e^t). با h=0.1: t₀=0, y₀=1 t₁=0.1: y₁ = 1 + 0.1*(1) = 1.1 t₂=0.2: y₂ = 1.1 + 0.1*(1.1) = 1.21 t₃=0.3: y₃ = 1.21 + 0.1*(1.21) = 1.331 جواب دقیق در t=0.3: e^0.3 ≈ 1.3499، خطا: 0.0189. با h=0.05 خطا کمتر می شود.
مزایا: بسیار ساده، کمترین محاسبات در هر گام، مناسب برای درک مفاهیم پایه.
معایب: دقت پایین، ناپایدار برای معادلات سخت (Stiff)، نیاز به گام های بسیار کوچک برای دقت قابل قبول.
کاربردها: در آموزش، در شبیه سازی های سریع و تقریبی، در روش های پیشگو-اصلاح کننده به عنوان پیشگو.
نکته: این روش به افتخار لئونارد اویلر، ریاضیدان بزرگ سوئیسی، نامگذاری شده است.
