روش برون یابی ریچاردسون (Richardson's Extrapolation for Differentiation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش برون یابی ریچاردسون (Richardson's Extrapolation for Differentiation) :
\[ F(h) \approx F(0) + a_1 h^2 + a_2 h^4 + ... \]توضیح ساده: برون یابی ریچاردسون یک تکنیک قدرتمند برای افزایش دقت روش های عددی است، از جمله در مشتق گیری. ایده این است که با داشتن تقریب های یک کمیت با دو گام مختلف (h و h/2)، می توان جمله خطای اصلی را حذف کرد و تقریبی با دقت بالاتر به دست آورد. این روش در مشتق گیری عددی، انتگرال گیری (رومبرگ)، و حل معادلات دیفرانسیل کاربرد دارد.
شرح گام به گام: فرض کنید روشی برای محاسبه مشتق با گام h داریم که خطای آن از مرتبه h² است، یعنی:
\[ D(h) = D + a_1 h^2 + a_2 h^4 + ... \]که D مقدار دقیق مشتق است. با دو گام h و h/2:
\[ D(h) = D + a_1 h^2 + a_2 h^4 + ... \] \[ D(h/2) = D + a_1 \frac{h^2}{4} + a_2 \frac{h^4}{16} + ... \]برای حذف جمله h²، ترکیب خطی زیر را می سازیم:
\[ D_{rich} = \frac{4D(h/2) - D(h)}{3} = D + a_2 h^4 \left(\frac{4/16 - 1}{3}\right) + ... = D + O(h^4) \]این فرآیند را می توان تکرار کرد تا جملات خطای بیشتری حذف شوند و به دقت های بالاتر رسید.
مثال عددی: مشتق f(x)=e^x در x=0 با روش تفاضلات مرکزی: با h=0.2: D(0.2) = (e^0.2 - e^{-0.2})/(0.4) = (1.2214 - 0.8187)/0.4 = 0.4027/0.4 = 1.00675 با h=0.1: D(0.1) = (e^0.1 - e^{-0.1})/(0.2) = (1.1052 - 0.9048)/0.2 = 0.2004/0.2 = 1.002 برون یابی: D_rich = (4*1.002 - 1.00675)/3 = (4.008 - 1.00675)/3 = 3.00125/3 = 1.00042 مقدار دقیق: 1، خطا: 0.00042 که نسبت به خطای D(0.1) (0.002) و D(0.2) (0.00675) بسیار کمتر است.
مزایا: افزایش چشمگیر دقت با هزینه محاسباتی کم، قابل استفاده برای هر روش پایه ای.
معایب: نیاز به محاسبه با دو گام مختلف، ممکن است در حضور نویز کارایی کمتری داشته باشد.
کاربردها: در مشتق گیری عددی، در انتگرال گیری (رومبرگ)، در حل معادلات دیفرانسیل (روش بولیرش-استوئر)، در فیزیک محاسباتی.
نکته: این روش به افتخار لوئیس ریچاردسون، ریاضیدان بریتانیایی، نامگذاری شده است.
