فرمول مشتق دوم (Second Derivative Midpoint Formula)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فرمول مشتق دوم (Second Derivative Midpoint Formula) :
\[ f''(x) \approx \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^2} \]توضیح ساده: این فرمول پرکاربردترین روش برای محاسبه عددی مشتق دوم است. با استفاده از سه نقطه متقارن حول x، مشتق دوم را با دقت مرتبه O(h²) تقریب می زند. این فرمول در حل عددی معادلات دیفرانسیل (مثل معادله لاپلاس و معادله موج) کاربرد اساسی دارد. از ترکیب بسط های تیلور f(x+h) و f(x-h) و جمع آنها به دست می آید.
شرح گام به گام: با جمع بسط های تیلور:
\[ f(x+h) + f(x-h) = 2f(x) + h^2 f''(x) + \frac{h^4}{12} f^{(4)}(\xi) \]بنابراین:
\[ f''(x) = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^2} - \frac{h^2}{12} f^{(4)}(\xi) \]خطا از مرتبه h² است. این فرمول برای نقاط داخلی کاربرد دارد. برای نقاط مرزی، از فرمول های نامتقارن استفاده می شود.
مثال عددی: تابع f(x)=x⁴ در x=1، f''(x)=12x²=12. با h=0.1: f(0.9)=0.6561، f(1)=1، f(1.1)=1.4641 f''(1) ≈ (0.6561 - 2 + 1.4641)/0.01 = (0.1202)/0.01 = 12.02 خطا: 0.02 با h=0.05: f(0.95)=0.8145، f(1)=1، f(1.05)=1.2155 f''(1)≈ (0.8145 -2 + 1.2155)/0.0025 = (0.03)/0.0025 = 12.00 دقیق.
مزایا: ساده، دقیق (مرتبه ۲)، پایه ای در حل معادلات دیفرانسیل.
معایب: حساس به نویز (چون تقسیم بر h² می شود، نویز تقویت می شود).
کاربردها: در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (لاپلاس، پواسون، موج، حرارت)، در تحلیل خمش تیرها، در تشخیص لبه در تصاویر.
نکته: این فرمول معادل اعمال دو بار مشتق گیری متوالی با روش مرکزی است.
