فرمول پنج نقطه ای (Five-point Formulas)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فرمول پنج نقطه ای (Five-point Formulas) :
\[ f'(x_0) \approx \frac{f(x_0-2h) - 8f(x_0-h) + 8f(x_0+h) - f(x_0+2h)}{12h} \]توضیح ساده: فرمول های پنج نقطه ای روش های دقیق تری برای مشتق گیری عددی هستند که از پنج نقطه متقارن (یا نامتقارن برای نقاط مرزی) استفاده می کنند. خطای این روش ها از مرتبه O(h⁴) است، یعنی دقت بسیار بالایی دارند. این فرمول ها زمانی استفاده می شوند که داده های با کیفیت بالا در دسترس است و نیاز به دقت بسیار زیاد داریم.
شرح گام به گام: برای نقاط داخلی، فرمول متقارن پنج نقطه ای با ضرایب [-1, 8, 0, -8, 1]/(12h) است. این فرمول از ترکیب بسط های تیلور تا مرتبه ۴ به دست می آید و جمله خطای آن شامل h⁴ f^{(5)}(ξ) است. برای نقاط مرزی، فرمول های پنج نقطه ای نامتقارن وجود دارد، مثلا برای نقطه چپ:
\[ f'(x_0) \approx \frac{-25f(x_0) + 48f(x_0+h) - 36f(x_0+2h) + 16f(x_0+3h) - 3f(x_0+4h)}{12h} \]مثال عددی: تابع f(x)=e^x در x=0، با h=0.1: f(-0.2)=0.8187، f(-0.1)=0.9048، f(0)=1، f(0.1)=1.1052، f(0.2)=1.2214 f'(0) ≈ (0.8187 - 8*0.9048 + 8*1.1052 - 1.2214)/(12*0.1) = (0.8187 - 7.2384 + 8.8416 - 1.2214)/1.2 = (1.2005)/1.2 = 1.0004 مقدار دقیق: 1، خطا: 0.0004 (بسیار کم).
مزایا: دقت بسیار بالا (مرتبه ۴)، مناسب برای مسائل با دقت مورد نیاز زیاد.
معایب: نیاز به نقاط بیشتر، حساسیت بیشتر به نویز (چون ضرایب بزرگتر هستند).
کاربردها: در مشتق گیری از داده های دقیق آزمایشگاهی، در روش های طیفی، در کالیبراسیون دقیق.
نکته: فرمول پنج نقطه ای اساس روش های رونگ-کوتا با دقت بالا را تشکیل می دهد.
