فرمول سه نقطه ای میانی (Three-point Midpoint Formula)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فرمول سه نقطه ای میانی (Three-point Midpoint Formula) :
\[ f'(x_0) \approx \frac{f(x_0+h) - f(x_0-h)}{2h} \]توضیح ساده: فرمول سه نقطه ای میانی همان روش تفاضلات مرکزی است که قبلا معرفی شد. در برخی منابع، این روش را با این نام می شناسند تا تأکید کنند که از سه نقطه (x₀-h, x₀, x₀+h) استفاده می کند، اگرچه نقطه x₀ در فرمول نهایی ظاهر نمی شود. این روش برای نقاط داخلی بازه که داده در دو طرف موجود است، بهترین انتخاب است.
شرح گام به گام: همانطور که در روش ۱۰۵ توضیح داده شد، این فرمول از تفریق دو بسط تیلور به دست می آید و خطای O(h²) دارد. دقت آن برای توابع هموار بسیار خوب است. در مقایسه با روش های دو نقطه ای (پیشرو و پسرو)، دقت بسیار بالاتری دارد.
مثال عددی: تابع f(x)=sin(x) در x=π/4، با h=0.1: f(π/4+0.1)=sin(0.8854)=0.774، f(π/4-0.1)=sin(0.6854)=0.633 f'(π/4)≈ (0.774-0.633)/0.2 = 0.141/0.2 = 0.705 مقدار دقیق cos(π/4)=0.7071، خطا: 0.0021- (بسیار کم).
مزایا: دقت بالا، سادگی، پرکاربردترین فرمول مشتق گیری.
معایب: قابل استفاده فقط برای نقاط داخلی.
کاربردها: در همه جا که مشتق عددی نیاز است: در مسائل بهینه سازی، در حل معادلات دیفرانسیل، در گرادیان کاهشی.
نکته: این روش را گاهی "روترین" روش مشتق گیری عددی می نامند.
