فرمول سه نقطه ای (Three-point Endpoint Formula)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فرمول سه نقطه ای (Three-point Endpoint Formula) :
\[ f'(x_0) \approx \frac{-3f(x_0) + 4f(x_0+h) - f(x_0+2h)}{2h} \]توضیح ساده: فرمول سه نقطه ای برای مشتق در نقاط انتهایی (جایی که داده فقط در یک طرف موجود است) طراحی شده است. این فرمول با استفاده از سه نقطه متوالی (x₀, x₀+h, x₀+2h) یک تقریب مرتبه دوم برای مشتق در نقطه x₀ ارائه می دهد. این روش برای شرایط مرزی در مسائل دیفرانسیل بسیار مفید است.
شرح گام به گام: با نوشتن بسط تیلور برای f(x₀+h) و f(x₀+2h) حول x₀:
\[ f(x₀+h) = f₀ + h f'₀ + \frac{h²}{2} f''₀ + \frac{h³}{6} f'''₀ + ... \] \[ f(x₀+2h) = f₀ + 2h f'₀ + 2h² f''₀ + \frac{4h³}{3} f'''₀ + ... \]ترکیب خطی: -3f₀ + 4f(x₀+h) - f(x₀+2h) = 2h f'₀ + O(h³) بنابراین:
\[ f'(x_0) = \frac{-3f(x_0) + 4f(x_0+h) - f(x_0+2h)}{2h} + O(h²) \]خطا از مرتبه h² است، یعنی دقت آن با روش مرکزی برابری می کند، اما برای نقاط مرزی.
مثال عددی: تابع f(x)=x³ در x=0 (نقطه مرزی چپ)، با h=0.1: f(0)=0، f(0.1)=0.001، f(0.2)=0.008 f'(0) ≈ (-3*0 + 4*0.001 - 0.008)/(0.2) = (0.004 - 0.008)/0.2 = (-0.004)/0.2 = -0.02 مقدار دقیق f'(0)=0. خطا: 0.02- (چون h نسبتا بزرگ است). با h=0.01: f(0.01)=0.000001، f(0.02)=0.000008، f'(0)≈ (0.000004 - 0.000008)/0.02 = (-0.000004)/0.02 = -0.0002، خطا: 0.0002- (بهبود).
مزایا: دقت مرتبه دوم برای نقاط مرزی، ساده و کارآمد.
معایب: نیاز به داده در دو نقطه جلوتر، برای فواصل بسیار نزدیک به مرز ممکن است خطا افزایش یابد.
کاربردها: در شرایط مرزی در حل معادلات دیفرانسیل، در مشتق گیری از داده های آزمایشگاهی در ابتدای بازه.
نکته: فرمول مشابهی برای نقطه انتهایی راست با ضرایب f(x₀-2h), f(x₀-h), f(x₀) وجود دارد.
