روش تفاضلات مرکزی (Central Difference Formula)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تفاضلات مرکزی (Central Difference Formula) :
\[ f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \]توضیح ساده: روش تفاضلات مرکزی از دو نقطه متقارن حول x (یعنی x-h و x+h) استفاده می کند. این روش نسبت به دو روش قبلی دقت بالاتری دارد، زیرا جمله خطای آن از مرتبه O(h²) است. دلیل این دقت بالاتر این است که جملات فرد بسط تیلور (از جمله جمله h) حذف می شوند. این روش پرکاربردترین روش برای مشتق گیری عددی است، به شرطی که داده در هر دو طرف نقطه در دسترس باشد.
شرح گام به گام: با نوشتن بسط تیلور برای f(x+h) و f(x-h) و تفریق آنها:
\[ f(x+h) = f(x) + h f'(x) + \frac{h^2}{2} f''(x) + \frac{h^3}{6} f'''(x) + ... \] \[ f(x-h) = f(x) - h f'(x) + \frac{h^2}{2} f''(x) - \frac{h^3}{6} f'''(x) + ... \]تفریق: f(x+h)-f(x-h) = 2h f'(x) + \frac{2h^3}{6} f'''(x) + ... بنابراین:
\[ f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} - \frac{h^2}{6} f'''(\xi) \]خطا از مرتبه h² است، یعنی با نصف کردن h، خطا به یک چهارم کاهش می یابد.
مثال عددی: تابع f(x)=x³ در x=1، با h=0.1: f(1.1)=1.331، f(0.9)=0.729 f'(1) ≈ (1.331-0.729)/(0.2) = 0.602/0.2 = 3.01 خطا: 0.01 (در مقایسه با 0.31 در روش پیشرو). با h=0.05: f(1.05)=1.157625، f(0.95)=0.857375، f'(1)≈ (1.157625-0.857375)/0.1 = 0.30025/0.1 = 3.0025، خطا: 0.0025 (کمتر شد).
مزایا: دقت بالا (مرتبه ۲)، ساده، پرکاربردترین روش مشتق گیری.
معایب: نیاز به داده در دو طرف نقطه، برای نقاط مرزی قابل استفاده نیست.
کاربردها: در حل عددی معادلات دیفرانسیل (روش تفاضلات محدود)، در پردازش تصویر (گرادیان تصویر)، در تحلیل داده ها.
نکته: این روش اساس روش های کریک-نیکلسون در حل PDEها است.
