روش تفاضلات پسرو (Backward Difference Formula)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تفاضلات پسرو (Backward Difference Formula) :
\[ f'(x) \approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h} \]توضیح ساده: روش تفاضلات پسرو مشابه روش پیشرو است، با این تفاوت که از نقطه x و نقطه قبلی (x-h) استفاده می کند. این روش برای نقاط انتهایی راست بازه (جایی که داده در سمت چپ موجود است) مناسب است. خطای آن نیز از مرتبه O(h) است. این روش در روش های ضمنی حل معادلات دیفرانسیل (مثل اویلر پسرو) کاربرد دارد.
شرح گام به گام: از بسط تیلور f(x-h) = f(x) - h f'(x) + h²/2 f''(ξ) نتیجه می دهد:
\[ f'(x) = \frac{f(x)-f(x-h)}{h} + \frac{h}{2} f''(\xi) \]علامت جمله خطا با روش پیشرو متفاوت است، اما اندازه خطا تقریبا یکسان است. این روش برای شرایط مرزی در انتهای بازه مفید است.
مثال عددی: تابع f(x)=x³ در x=1، با h=0.1: f(1)=1، f(0.9)=0.729 f'(1) ≈ (1-0.729)/0.1 = 0.271/0.1 = 2.71 مقدار دقیق: 3. خطا: 0.29- (تقریبا قدر مطلق مشابه روش پیشرو). با h=0.05: f(0.95)=0.857375، f'(1)≈ (1-0.857375)/0.05 = 0.142625/0.05 = 2.8525، خطا: 0.1475-
مزایا: ساده، مناسب برای نقاط انتهایی بازه، پایه ای برای روش های ضمنی.
معایب: دقت پایین (مرتبه ۱)، حساس به نویز.
کاربردها: در روش اویلر پسرو برای معادلات دیفرانسیل، در شرایط مرزی، در فیلترهای دیجیتال.
نکته: ترکیب روش پیشرو و پسرو می تواند تخمین بهتری ارائه دهد (میانگین آنها روش مرکزی را می دهد).
