روش تفاضلات پیشرو (Forward Difference Formula)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تفاضلات پیشرو (Forward Difference Formula) :
\[ f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]توضیح ساده: روش تفاضلات پیشرو ساده ترین روش برای مشتق گیری عددی است. در این روش، مشتق تابع در نقطه x را با شیب خط واصل بین نقطه (x, f(x)) و نقطه (x+h, f(x+h)) تقریب می زنیم. این روش از بسط تیلور به دست می آید و برای توابعی که داده ها در نقاط با فاصله مساوی در دسترس هستند، بسیار ساده و مستقیم است. خطای این روش از مرتبه O(h) است، یعنی با نصف کردن گام، خطا تقریبا نصف می شود.
شرح گام به گام: از بسط تیلور f(x+h) = f(x) + h f'(x) + h²/2 f''(ξ) نتیجه می دهد:
\[ f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} - \frac{h}{2} f''(\xi) \]جمله خطا proportional به h است. این روش برای نقاط انتهایی بازه (جایی که داده در سمت راست موجود است) مناسب است. دقت آن پایین است، اما سادگی آن باعث شده در بسیاری از کاربردهای اولیه استفاده شود.
مثال عددی: تابع f(x)=x³ در x=1، با h=0.1: f(1)=1، f(1.1)=1.331 f'(1) ≈ (1.331-1)/0.1 = 0.331/0.1 = 3.31 مقدار دقیق: f'(1)=3. خطا: 0.31 با h=0.05: f(1.05)=1.157625، f'(1)≈ (1.157625-1)/0.05 = 0.157625/0.05 = 3.1525، خطا: 0.1525 (حدود نصف شد).
مزایا: بسیار ساده، سریع، مناسب برای نقاط ابتدای بازه.
معایب: دقت پایین (مرتبه ۱)، حساس به نویز (نویز را تقویت می کند).
کاربردها: در مسائل گام زمانی (روش اویلر پیشرو)، در پردازش سیگنال های بلادرنگ، در مواردی که سرعت مهم تر از دقت است.
نکته: این روش پایه ای برای روش های تفاضلات محدود در حل معادلات دیفرانسیل است.
