روش فیلون (Filon's Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش فیلون (Filon's Method) :
\[ \int_a^b f(x) \sin(\omega x) dx \quad \text{یا} \quad \int_a^b f(x) \cos(\omega x) dx \]توضیح ساده: روش فیلون یک روش خاص برای محاسبه عددی انتگرال های نوسانی با فرکانس بالا (مانند انتگرال های شامل توابع سینوس و کسینوس) است. در این روش، تابع f(x) را با یک چندجمله ای درون یابی می کنیم و سپس انتگرال حاصل ضرب این چندجمله ای در تابع نوسانی را به صورت تحلیلی محاسبه می کنیم. این روش برای انتگرال هایی که با روش های معمولی نیاز به گام های بسیار ریز دارند، بسیار کارآمد است.
شرح گام به گام: فرض کنید می خواهیم I = ∫ₐᵇ f(x) e^{iωx} dx را محاسبه کنیم. بازه [a,b] را به زیربازه های کوچک تقسیم می کنیم. در هر زیربازه، f(x) را با یک چندجمله ای درجه پایین (مثلا درجه ۲ یا ۳) تقریب می زنیم. سپس انتگرال به صورت تحلیلی محاسبه می شود:
\[ \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x) e^{i\omega x} dx \approx \int_{x_k}^{x_{k+1}} P_m(x) e^{i\omega x} dx \]این انتگرال تحلیلی بر حسب مقادیر f در نقاط گره و مشتقات آن (در نسخه های پیشرفته) بیان می شود. فرمول فیلون-تراپ (Filon-Trap) و فیلون-سیمپسون معروف هستند.
مثال عددی: انتگرال I = ∫₀¹ x cos(100x) dx. با ω=100، تابع به شدت نوسانی است. روش سیمپسون معمولی نیاز به گام های بسیار کوچک (حدود ۰.۰۰۱) دارد. روش فیلون با درون یابی درجه ۲ در هر زیربازه با گام بزرگتر (مثلا ۰.۱) نتایج دقیقی می دهد. فرمول فیلون-سیمپسون: I ≈ h [α (f₀ cos(ωx₀) - f₂ cos(ωx₂)) + β (f₁ cos(ωx₁))] با ضرایب مناسب.
مزایا: بسیار کارآمد برای انتگرال های نوسانی، نیاز به تعداد نقاط کم، دقت بالا حتی با ω بزرگ.
معایب: پیچیده تر از روش های معمولی، برای ωهای بسیار بزرگ ممکن است ناپایدار شود.
کاربردها: در الکترومغناطیس، در اپتیک، در تحلیل فوریه، در دینامیک سازه ها، در مکانیک کوانتومی.
نکته: این روش توسط لویی ناپلئون فیلون، ریاضیدان فرانسوی، در سال ۱۹۲۸ معرفی شد.
