انتگرال گیری با هم گشت (Convolution Quadrature)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال گیری با هم گشت (Convolution Quadrature) :
\[ (f * g)(t) = \int_0^t f(t-\tau) g(\tau) d\tau \]توضیح ساده: انتگرال گیری با هم گشت یک روش عددی برای محاسبه انتگرال های کانولوشن (هم گشت) است که در معادلات انتگرال ولترا و مسائل وابسته به زمان کاربرد دارد. این روش توسط کریستین لوبیش در دهه ۱۹۸۰ معرفی شد و از تبدیل لاپلاس و روش های چندگامی خطی برای گسسته سازی زمانی استفاده می کند. برخلاف روش های مستقیم که با هزینه O(n²) مواجه هستند، این روش با استفاده از تبدیل سریع فوریه (FFT) می تواند کانولوشن را با هزینه O(n log n) محاسبه کند.
شرح گام به گام: در روش لوبیش، ابتدا تابع هسته (Kernel) را با استفاده از تبدیل لاپلاس به یک تابع مولد تبدیل می کنیم. سپس با استفاده از روش های چندگامی خطی (مانند BDF)، ضرایب وزنی محاسبه می شوند. انتگرال کانولوشن به صورت مجموع وزنی از مقادیر قبلی تابع ورودی تقریب زده می شود:
\[ (f * g)(t_n) \approx \sum_{j=0}^n \omega_j(\Delta t) g(t_{n-j}) \]ضرایب ω_j با حل معادلات بازگشتی مبتنی بر چندجمله ای مشخصه روش چندگامی بدست می آیند. برای محاسبه سریع، از FFT برای ارزیابی چندجمله ای ها در نقاط مختلف استفاده می شود.
مثال عددی: معادله انتگرال ولترا:
\[ y(t) + \int_0^t (t-\tau) y(\tau) d\tau = 1 \]هسته k(t)=t. با استفاده از روش کانولوشن کوادرچر با گام زمانی Δt=0.1، می توان جواب را در نقاط گسسته محاسبه کرد. این روش پایداری خوبی دارد و برای مسائل با حافظه طولانی مناسب است.
مزایا: پایداری بالا، دقت خوب، قابلیت استفاده با FFT برای سرعت بالا، مناسب برای مسائل وابسته به زمان.
معایب: پیاده سازی پیچیده، نیاز به درک عمیق از تبدیل لاپلاس و روش های چندگامی.
کاربردها: در معادلات انتگرال ولترا، در مسائل ویسکوالاستیسیته، در انتقال حرارت وابسته به زمان، در دینامیک سیالات.
نکته: این روش به افتخار کریستین لوبیش، ریاضیدان آلمانی، نامگذاری شده است.
