روش انتگرال گیری نامناسب (Improper Integrals Quadrature)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

روش انتگرال گیری نامناسب (Improper Integrals Quadrature) :

توضیح ساده: انتگرال های نامناسب آنهایی هستند که حد بالا یا پایین بینهایت است، یا تابع در نقاطی از بازه به بینهایت می رود. روش های عددی معمولی برای چنین انتگرال هایی ممکن است با مشکل مواجه شوند. روش های خاصی برای تبدیل این انتگرال ها به فرم مناسب یا استفاده از تغییر متغیر برای حذف تکینگی وجود دارد. این روش ها در فیزیک و مهندسی کاربرد فراوان دارند.

شرح گام به گام: چند رویکرد برای انتگرال های نامناسب:

۱. تغییر متغیر: برای بازه بی نهایت، مثلا x = tan(θ) یا x = -ln(t) برای تبدیل به بازه متناهی.

۲. حذف تکینگی: اگر تابع در نقطه c تکینگی دارد، می توان با تغییر متغیر y = √(x-c) یا استفاده از بسط سری، تکینگی را حذف کرد.

۳. روش های گاوسی خاص: استفاده از فرمول های گاوس-لاگر (برای [۰,∞)) یا گاوس-ارمیت (برای (∞- ,∞)).

۴. برش دادن (Truncation): برای بازه بی نهایت، می توان یک کران بالای بزرگ انتخاب کرد به طوری که سهم بقیه ناچیز باشد.

مثال عددی: انتگرال I = ∫₀^∞ e^{-x} / √x dx = Γ(1/2) = √π ≈ 1.77245. این انتگرال در x=0 تکینگی دارد (چون 1/√x). با تغییر متغیر x = t²، dx = 2t dt، انتگرال می شود I = ∫₀^∞ e^{-t²} * 2 dt = 2 * (√π/2) = √π. حال انتگرال جدید یک انتگرال گاوسی است که با گاوس-ارمیت یا حتی روش سیمپسون با گام کوچک در بازه [۰,۱۰] قابل محاسبه است.

مزایا: امکان محاسبه انتگرال هایی که با روش های معمولی قابل محاسبه نیستند.

معایب: نیاز به تحلیل ریاضی قبلی، انتخاب تغییر متغیر مناسب نیاز به تجربه دارد.

کاربردها: در فیزیک (محاسبه پتانسیل)، در نظریه احتمال (تابع گاما)، در تبدیلات انتگرالی.

نکته: بسیاری از انتگرال های نامناسب را می توان با روش های گاوسی خاص (لاگر، ارمیت) به دقت محاسبه کرد.