انتگرال گیری مونت کارلو (Monte Carlo Integration)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال گیری مونت کارلو (Monte Carlo Integration) :
\[ \int_\Omega f(x) dx \approx \frac{|\Omega|}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i) \]توضیح ساده: انتگرال گیری مونت کارلو یک روش احتمالی برای محاسبه انتگرال ها، به ویژه در ابعاد بالا، است. ایده اصلی این است که به جای نمونه گیری از نقاط منظم، نقاط را به صورت تصادفی در ناحیه انتگرال گیری انتخاب می کنیم و مقدار میانگین تابع در این نقاط را در حجم ناحیه ضرب می کنیم. این روش با افزایش تعداد نقاط، به جواب همگرا می شود، اما نرخ همگرایی آن نسبتا کند است (از مرتبه 1/√N).
شرح گام به گام: برای محاسبه انتگرال تابع f روی ناحیه Ω با حجم V:
۱. N نقطه تصادفی x₁,...,x_N به طور یکنواخت در Ω تولید کنید.
۲. میانگین مقادیر تابع را محاسبه کنید: \bar{f} = (1/N) ∑ f(x_i)
۳. تخمین انتگرال: I ≈ V * \bar{f}
۴. خطای استاندارد تخمین: σ/√N که σ انحراف معیار f است.
برای کاهش خطا، می توان از روش های کاهش واریانس مانند نمونه گیری مهم (Importance Sampling) استفاده کرد.
مثال عددی: انتگرال ∫₀¹ x² dx = 1/3 را با مونت کارلو محاسبه کنید. N=1000 نقطه تصادفی در [0,1] تولید کنید. میانگین x² را محاسبه کنید. فرض کنید میانگین 0.332 بدست آید. I≈1*0.332=0.332. با N=10000، میانگین به 0.333 نزدیک تر می شود. خطا از مرتبه 1/√N است، یعنی برای افزایش یک رقم دقت، باید N را ۱۰۰ برابر کرد.
مزایا: نرخ همگرایی مستقل از بعد است، برای ابعاد بالا (مثلا ۱۰۰ بعد) تنها روش عملی است، پیاده سازی ساده.
معایب: نرخ همگرایی کند (1/√N)، نتایج احتمالی و غیرقطعی، برای دقت بالا نیاز به تعداد نمونه بسیار زیاد است.
کاربردها: در فیزیک (انتگرال های مسیر)، در مالی (قیمت گذاری اختیار معامله)، در آمار (استنباط بیزی)، در گرافیک کامپیوتری (رندرینگ).
نکته: روش های شبه-مونت کارلو (Quasi-Monte Carlo) با استفاده از دنباله های کم اختیاف (Low-discrepancy sequences) نرخ همگرایی بهتری دارند.
