انتگرال گیری چندگانه (Multiple Integrals Quadrature)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال گیری چندگانه (Multiple Integrals Quadrature) :
\[ \iint_R f(x,y) dxdy \approx \sum_{i,j} w_{ij} f(x_i, y_j) \]توضیح ساده: انتگرال گیری چندگانه به محاسبه عددی انتگرال های دوگانه، سه گانه و بالاتر گفته می شود. روش های مختلفی برای این کار وجود دارد: استفاده تکراری از روش های یک بعدی (روش محصول)، روش های گاوسی در چند بعد، و روش های مونت کارلو برای ابعاد بالا. این روش ها در فیزیک، مهندسی، و اقتصاد برای محاسبه کمیت های وابسته به چند متغیر کاربرد دارند.
شرح گام به گام: ساده ترین روش، استفاده تکراری از فرمول های یک بعدی است. برای انتگرال دوگانه روی ناحیه مستطیلی [a,b]×[c,d]:
\[ \int_a^b \int_c^d f(x,y) dy dx \approx \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m w_i v_j f(x_i, y_j) \]که x_i و w_i از یک فرمول یک بعدی (مثلا گاوس-لژاندر) و y_j و v_j از فرمول دیگر می آیند. این روش "محصول تانسوری" (Tensor Product) نام دارد. برای نواحی غیرمستطیلی، از تبدیل مختصات یا روش های المان محدود استفاده می شود. برای ابعاد بالا (بیش از ۳ یا ۴)، روش مونت کارلو کارآمدتر است.
مثال عددی: انتگرال دوگانه I = ∫₀¹ ∫₀¹ x²y² dx dy = (1/3)*(1/3)=1/9≈0.11111. با روش گاوس-لژاندر ۲ نقطه ای در هر بعد: نقاط x: ±0.57735 با وزن ۱، نقاط y: ±0.57735 با وزن ۱. پس ۴ نقطه: (0.57735,0.57735), (0.57735,-0.57735), ... چون بازه [0,1] است باید تغییر متغیر دهیم: x = 0.5 + 0.5t، با t=±0.57735، x=0.7887 و 0.2113. f(0.7887,0.7887)=0.7887²*0.7887²=0.387، به همین ترتیب برای ۴ نقطه. مجموع با وزن های ۱ و ضریب تبدیل (0.5*0.5)=0.25، I≈0.25*(0.387+0.045+0.045+0.0053)=0.25*0.4823=0.1206 که خطای حدود ۸٪ دارد. با افزایش تعداد نقاط، دقت بیشتر می شود.
مزایا: قابل استفاده برای ابعاد کم، دقت بالا با روش های گاوسی.
معایب: با افزایش ابعاد، تعداد نقاط به صورت نمایی رشد می کند (نفرین ابعاد). برای ابعاد بالا (بیش از ۴) غیرعملی می شود.
کاربردها: در مکانیک کوانتومی (انتگرال های مولکولی)، در دینامیک سیالات، در پردازش تصویر.
نکته: روش های اسپارس گرید (Sparse Grid) برای کاهش اثر نفرین ابعاد طراحی شده اند.
