انتگرال گیری تطبیقی (Adaptive Quadrature)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال گیری تطبیقی (Adaptive Quadrature) :
توضیح ساده: انتگرال گیری تطبیقی یک استراتژی هوشمندانه برای محاسبه انتگرال های عددی است. در این روش، بازه انتگرال گیری به طور خودکار به زیربازه هایی با اندازه متغیر تقسیم می شود، به طوری که در جاهایی که تابع تغییرات سریع دارد، زیربازه ها کوچک تر و در جاهایی که تابع هموار است، زیربازه ها بزرگ تر انتخاب می شوند. هدف رسیدن به دقت مطلوب با حداقل تعداد محاسبات است. این روش در نرم افزارهای عددی بسیار رایج است.
شرح گام به گام: مراحل کلی یک الگوریتم تطبیقی:
۱. یک بازه [a,b] و یک تخمین اولیه با دو روش با دقت متفاوت (مثلا سیمپسون با n=1 و n=2) محاسبه کن.
۲. خطا را تخمین بزن: E ≈ |I_خشن - I_دقیق|
۳. اگر خطا کمتر از آستانه مورد نظر است، نتیجه را قبول کن.
۴. اگر خطا زیاد است، بازه را به دو نیم تقسیم کن و الگوریتم را به صورت بازگشتی روی هر زیربازه اعمال کن.
۵. نتایج زیربازه ها را جمع کن.
این روش تضمین می کند که در کل بازه، خطا کمتر از مقدار تعیین شده باشد.
مثال عددی: تابع f(x) = 1/(1+100x²) را در بازه [-1,1] در نظر بگیرید که در نزدیکی x=0 قله تیزی دارد. روش های معمولی با گام ثابت یا باید گام بسیار کوچکی بردارند یا خطای زیادی دارند. روش تطبیقی: در نزدیکی ۰، زیربازه ها را ریز و در نقاط دور، درشت انتخاب می کند. نتیجه: دقت بالا با تعداد نقاط کمتر.
مزایا: کارآمد، کنترل خطا، مناسب برای توابع با تغییرات موضعی.
معایب: پیاده سازی پیچیده تر، هزینه محاسباتی پیش بینی ناپذیر، ممکن است برای توابع با نوسانات بسیار زیاد دچار مشکل شود.
کاربردها: استاندارد در کتابخانه های عددی (مانند quad در MATLAB، integrate در Python)، در مسائل علمی.
نکته: روش های تطبیقی معمولا از قانون گاوس-کونراد برای تخمین خطا استفاده می کنند.
