روش لوباتو (Lobatto Quadrature)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش لوباتو (Lobatto Quadrature) :
\[ \int_{-1}^1 f(x)dx \approx w_0 f(-1) + \sum_{i=2}^{n-1} w_i f(x_i) + w_n f(1) \]توضیح ساده: روش لوباتو یک نوع انتگرال گیری گاوسی است که در آن نقاط انتهایی بازه (۱- و ۱) اجباریا در نقاط نمونه گیری حضور دارند. این روش برای مسائلی که مقادیر تابع در مرزها مشخص است یا مشتقات مرزی اهمیت دارند، مفید است. فرمول لوباتو با n نقطه برای چندجمله ای های تا درجه ۲n-۳ دقیق است. این روش در روش عناصر محدود و حل معادلات دیفرانسیل کاربرد دارد.
شرح گام به گام: فرمول لوباتو با n نقطه در بازه [-1,1] به صورت زیر است:
\[ \int_{-1}^1 f(x)dx \approx w_0 f(-1) + \sum_{i=2}^{n-1} w_i f(x_i) + w_n f(1) \]نقاط داخلی x_i ریشه های مشتق چندجمله ای لژاندر P'_{n-1}(x) هستند. وزن ها نیز از فرمول های خاصی بدست می آیند. برای بازه دلخواه [a,b]، با تغییر متغیر خطی می توان استفاده کرد. معروف ترین حالت، فرمول لوباتو با ۴ نقطه است که برای چندجمله ای های درجه ۵ دقیق است.
مثال عددی: برای n=4، نقاط و وزن های لوباتو در [-1,1]: x₁ = -1, x₂ = -1/√5 ≈ -0.4472, x₃ = 1/√5 ≈ 0.4472, x₄ = 1 وزن ها: w₁ = w₄ = 1/6 ≈ 0.16667, w₂ = w₃ = 5/6 ≈ 0.83333 انتگرال ∫₋₁¹ x⁴ dx = 2/5 = 0.4 را محاسبه کنید: I ≈ 0.16667*1 + 0.83333*(0.4472⁴ + (-0.4472)⁴) + 0.16667*1 = 0.16667 + 0.83333*(0.04+0.04) + 0.16667 = 0.33334 + 0.83333*0.08 = 0.33334 + 0.06667 = 0.40001 ≈ 0.4
مزایا: شامل نقاط انتهایی، مفید برای مسائل مقدار مرزی، دقت خوب.
معایب: تعداد نقاط کمتر از گاوس-لژاندر برای همان دقت (چون دو نقطه به انتهایی اختصاص یافته).
کاربردها: در روش عناصر محدود طیفی، در حل معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی، در شبیه سازی های عددی.
نکته: این روش به افتخار راینهارد لوباتو، ریاضیدان آلمانی، نامگذاری شده است.
