روش گاوس-پترسون (Gauss-Patterson Quadrature)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش گاوس-پترسون (Gauss-Patterson Quadrature) :
توضیح ساده: روش گاوس-پترسون یک توسعه دیگر از روش گاوس-لژاندر است که در آن می توان به صورت تودرتو (Nested) نقاط را اضافه کرد. یعنی مجموعه نقاط گاوس با مرتبه پایین، زیرمجموعه ای از نقاط با مرتبه بالاتر هستند. این ویژگی در روش های تطبیقی بسیار مفید است، زیرا می توان از محاسبات قبلی استفاده مجدد کرد. این روش توسط توماس پترسون در سال ۱۹۶۸ معرفی شد.
شرح گام به گام: در روش پترسون، دنباله ای از قوانین انتگرال گیری با دقت فزاینده ساخته می شود به طوری که نقاط قانون قبلی در قانون بعدی حفظ می شوند. معروف ترین آنها توالی پترسون با ۳، ۷، ۱۵، ۳۱، ۶۳، ۱۲۷، ... نقطه است. برای مثال، قانون ۷ نقطه شامل ۵ نقطه از قانون ۳ نقطه (با تغییر) و ۴ نقطه جدید است. این امکان را می دهد که با افزایش تعداد نقاط، از محاسبات قبلی استفاده کنیم و کارایی را افزایش دهیم.
مثال عددی: برای انتگرال ∫₋₁¹ cos(πx/2) dx = 4/π ≈ 1.27324. با قانون پترسون: ابتدا با ۳ نقطه محاسبه می کنیم، سپس با ۷ نقطه (با استفاده مجدد از مقادیر قبلی) محاسبه را دقیق تر می کنیم. تفاوت این دو تخمین خطا را می دهد. این روش در کتابخانه QUADPACK استفاده شده است.
مزایا: استفاده مجدد از محاسبات قبلی، کارآمد در روش های تطبیقی، تخمین خطای قابل اعتماد.
معایب: نقاط و وزن ها برای هر سطح باید از قبل محاسبه شوند و جدول بندی شده باشند.
کاربردها: در کتابخانه های عددی پیشرفته، در نرم افزارهای محاسباتی مانند Mathematica.
نکته: این روش ترکیبی از ایده های گاوس و کرونراد است با خاصیت تودرتو بودن.
