روش گاوس-کونراد (Gauss-Kronrod Quadrature Rule)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش گاوس-کونراد (Gauss-Kronrod Quadrature Rule) :
توضیح ساده: روش گاوس-کونراد یک توسعه از روش گاوس-لژاندر است که برای تخمین خطا در انتگرال گیری عددی طراحی شده است. در این روش، به نقاط گاوسی یک سری نقاط اضافی (نقاط کونراد) اضافه می شود تا بتوان با مقایسه نتایج، خطا را تخمین زد. این روش پایه و اساس بسیاری از روال های انتگرال گیری تطبیقی در نرم افزارهای عددی (مانند quad در MATLAB) است.
شرح گام به گام: فرمول گاوس-کونراد با n نقطه گاوسی و n+1 نقطه اضافی (مجموعا ۲n+1 نقطه) کار می کند. نقاط اضافی به گونه ای انتخاب می شوند که فرمول جدید برای چندجمله ای های تا درجه ۳n+۱ دقیق باشد. با داشتن دو تقریب: G_n (با n نقطه گاوسی) و K_{2n+1} (با ۲n+1 نقطه)، تخمین خطا به صورت |G_n - K_{2n+1}| محاسبه می شود. معروف ترین نسخه، قانون گاوس-کونراد با ۱۵ نقطه (۷ نقطه گاوسی + ۸ نقطه کونراد) است.
مثال عددی: برای انتگرال ∫₀¹ e^x dx = e-1 ≈ 1.71828. با قانون گاوس-کونراد ۱۵ نقطه (در بازه [-1,1] با تغییر متغیر)، تقریب G₇ و K₁₅ محاسبه می شود. اختلاف این دو تقریب به عنوان تخمین خطا استفاده می شود. اگر خطا از مقدار تعیین شده کمتر باشد، نتیجه قبول می شود، در غیر این صورت بازه به دو بخش تقسیم می شود (روش تطبیقی).
مزایا: امکان تخمین خطای داخلی، پایه ای برای روش های تطبیقی، کارایی بالا.
معایب: نیاز به ذخیره سازی نقاط و وزن های از پیش محاسبه شده، پیچیدگی بیشتر از روش های ساده.
کاربردها: در کتابخانه های عددی مانند QUADPACK، در نرم افزار MATLAB (دستور quadgk)، در محاسبات علمی.
نکته: این روش توسط الکساندر کونراد در دهه ۱۹۶۰ ابداع شد.
